Номер 616, страница 85, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 616, страница 85.

Условие.

616 H. Определите электроёмкость воздушного сферического конденсатора. Радиусы сфер $R_1$ и $R_2$.

Решение.

Дано:

Сферический воздушный конденсатор.

Радиус внутренней сферы – $R_1$.

Радиус внешней сферы – $R_2$ (примем, что $R_2 > R_1$).

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon \approx 1$.

Электрическая постоянная – $\epsilon_0$.

Найти:

Электроёмкость конденсатора $\text{C}$.

Решение:

Электроёмкость конденсатора определяется как отношение заряда $\text{q}$ одной из его обкладок к разности потенциалов $\text{U}$ между обкладками:

$C = \frac{q}{U}$

Чтобы найти разность потенциалов, сообщим обкладкам конденсатора заряды $+q$ (внутренней сфере) и $-q$ (внешней сфере). Согласно теореме Гаусса, напряжённость электрического поля в пространстве между сферами ($R_1 < r < R_2$) создаётся только зарядом внутренней сферы и определяется выражением:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q}{r^2}$

Так как диэлектрик – воздух, его относительную диэлектрическую проницаемость можно считать равной единице ($\epsilon \approx 1$):

$E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$

Разность потенциалов $\text{U}$ между сферами найдем как интеграл от напряжённости электрического поля по радиусу от $R_1$ до $R_2$:

$U = \varphi_1 - \varphi_2 = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr$

Вычислим интеграл:

$U = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r^2} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_1}^{R_2} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( -\frac{1}{R_2} - \left(-\frac{1}{R_1}\right) \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$U = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}$

Теперь подставим найденную разность потенциалов в формулу для электроёмкости:

$C = \frac{q}{U} = \frac{q}{\frac{q(R_2 - R_1)}{4\pi\epsilon_0 R_1 R_2}}$

После сокращения заряда $\text{q}$ получаем окончательную формулу:

$C = \frac{4\pi\epsilon_0 R_1 R_2}{R_2 - R_1}$

Ответ:

Электроёмкость воздушного сферического конденсатора равна $C = \frac{4\pi\epsilon_0 R_1 R_2}{R_2 - R_1}$.