Номер 627, страница 87, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 627, страница 87.

Условие.

627. [947] Три конденсатора, ёмкости которых равны $C_1$, $C_2$, $C_3$, соединены по схеме, как показано на рисунке 139. Разность потенциалов между точками $\text{A}$ и $\text{B}$ равна $\text{U}$. Определите разность потенциалов между точками $\text{A}$ и $\text{D}$.

Рис. 139

Решение.

Дано:

Ёмкости конденсаторов: $C_1, C_2, C_3$

Разность потенциалов между точками А и В: $U_{AB} = U$

Найти:

Разность потенциалов между точками А и D: $U_{AD}$

Решение:

В представленной на рисунке схеме конденсаторы $C_2$ и $C_3$ соединены параллельно. Их общая эквивалентная ёмкость $C_{23}$ равна сумме их ёмкостей:

$C_{23} = C_2 + C_3$

Эта группа конденсаторов ($C_2$ и $C_3$) соединена последовательно с конденсатором $C_1$. Таким образом, схема представляет собой последовательное соединение конденсатора с ёмкостью $C_1$ и конденсатора с ёмкостью $C_{23}$.

При последовательном соединении заряд на каждом из элементов цепи одинаков. Обозначим этот общий заряд как $\text{Q}$. Следовательно, заряд на конденсаторе $C_1$ равен $\text{Q}$, и суммарный заряд на параллельно соединенных конденсаторах $C_2$ и $C_3$ также равен $\text{Q}$.

Искомая разность потенциалов между точками А и D ($U_{AD}$) — это напряжение на конденсаторе $C_1$. Оно определяется по формуле:

$U_{AD} = \frac{Q}{C_1}$

Полная разность потенциалов $\text{U}$ между точками А и В складывается из разности потенциалов на участке AD ($U_{AD}$) и разности потенциалов на участке DB ($U_{DB}$):

$U = U_{AB} = U_{AD} + U_{DB}$

Разность потенциалов на участке DB — это напряжение на эквивалентном конденсаторе $C_{23}$:

$U_{DB} = \frac{Q}{C_{23}} = \frac{Q}{C_2 + C_3}$

Подставим выражения для $U_{AD}$ и $U_{DB}$ в формулу для общего напряжения $\text{U}$:

$U = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2 + C_3} = Q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2 + C_3} \right)$

Приводя дроби в скобках к общему знаменателю, получаем:

$U = Q \left( \frac{C_2 + C_3 + C_1}{C_1(C_2 + C_3)} \right)$

Из этого соотношения выразим общий заряд $\text{Q}$:

$Q = \frac{U \cdot C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3}$

Теперь подставим найденное выражение для заряда $\text{Q}$ в формулу для искомой разности потенциалов $U_{AD}$:

$U_{AD} = \frac{Q}{C_1} = \frac{1}{C_1} \cdot \frac{U \cdot C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3}$

Сократив $C_1$ в числителе и знаменателе, получим окончательное выражение:

$U_{AD} = \frac{C_2 + C_3}{C_1 + C_2 + C_3} U$

Ответ: $U_{AD} = \frac{C_2 + C_3}{C_1 + C_2 + C_3} U$.