Номер 629, страница 88, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 629, страница 88.

Условие.

629. [949] Конденсатор ёмкостью $3 \text{ мкФ}$ и напряжением на обкладках $100 \text{ В}$ соединяют параллельно с конденсатором ёмкостью $4 \text{ мкФ}$ и напряжением на обкладках $50 \text{ В}$ разноимённо заряженными обкладками. Определите заряды конденсаторов после соединения и изменение энергии электрического поля.

Решение.

Дано:

$C_1 = 3 \text{ мкФ} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_1 = 100 \text{ В}$

$C_2 = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_2 = 50 \text{ В}$

Найти:

$q'_1$, $q'_2$ — заряды конденсаторов после соединения.

$\Delta W$ — изменение энергии электрического поля.

Решение:

1. Сначала определим начальные заряды на обкладках каждого конденсатора и начальную энергию системы. Заряд конденсатора связан с его емкостью и напряжением формулой $q = C \cdot U$.

Начальный заряд первого конденсатора:

$q_1 = C_1 U_1 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 100 \text{ В} = 300 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 300 \text{ мкКл}$

Начальный заряд второго конденсатора:

$q_2 = C_2 U_2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 50 \text{ В} = 200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 200 \text{ мкКл}$

Начальная энергия системы равна сумме энергий конденсаторов, которая вычисляется по формуле $W = \frac{C U^2}{2}$.

$W_{нач} = W_1 + W_2 = \frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2}$

$W_{нач} = \frac{(3 \cdot 10^{-6}) \cdot 100^2}{2} + \frac{(4 \cdot 10^{-6}) \cdot 50^2}{2} = 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ Дж} + 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ Дж} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ Дж}$

2. Конденсаторы соединяют параллельно разноименно заряженными обкладками. Это значит, что положительная обкладка одного конденсатора соединяется с отрицательной другого. Для такой изолированной системы выполняется закон сохранения заряда. Суммарный заряд системы после соединения будет равен разности начальных зарядов (по модулю):

$q_{общ} = q_1 - q_2 = 300 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} - 200 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

При параллельном соединении общая емкость батареи равна сумме емкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} + 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 7 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

3. После соединения на конденсаторах установится одинаковое напряжение $U'$, которое можно найти из соотношения $q_{общ} = C_{общ} U'$:

$U' = \frac{q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{100 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{7 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{100}{7} \text{ В}$

Теперь мы можем найти конечные заряды на конденсаторах и изменение энергии.

Заряды конденсаторов после соединения

Заряд на первом конденсаторе после соединения:

$q'_1 = C_1 U' = (3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot \frac{100}{7} \text{ В} = \frac{300}{7} \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \approx 42,9 \text{ мкКл}$

Заряд на втором конденсаторе после соединения:

$q'_2 = C_2 U' = (4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot \frac{100}{7} \text{ В} = \frac{400}{7} \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \approx 57,1 \text{ мкКл}$

Ответ: Заряды конденсаторов после соединения равны $q'_1 \approx 42,9 \text{ мкКл}$ и $q'_2 \approx 57,1 \text{ мкКл}$.

Изменение энергии электрического поля

Найдем конечную энергию системы, используя общую емкость и установившееся напряжение:

$W_{кон} = \frac{C_{общ} (U')^2}{2} = \frac{(7 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (\frac{100}{7} \text{ В})^2}{2} = \frac{7 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{10000}{49}}{2} = \frac{10^{-6} \cdot 10000}{14} = \frac{5000}{7} \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Изменение энергии равно разности между конечной и начальной энергией:

$\Delta W = W_{кон} - W_{нач} = \frac{5000}{7} \cdot 10^{-6} \text{ Дж} - 2 \cdot 10^{-2} \text{ Дж}$

Приведем к общему множителю $10^{-3}$:

$\Delta W = (\frac{5}{7} \cdot 10^{-3} - 20 \cdot 10^{-3}) \text{ Дж} = (\frac{5}{7} - \frac{140}{7}) \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = -\frac{135}{7} \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

$\Delta W \approx -19,3 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = -19,3 \text{ мДж}$

Уменьшение энергии произошло за счет выделения тепла в соединительных проводах в процессе перераспределения зарядов.

Ответ: Изменение энергии электрического поля составляет $\Delta W \approx -19,3 \text{ мДж}$.