Номер 631, страница 88, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 631, страница 88.

Условие.

631. [951] Два одинаковых конденсатора, в один из которых помещена диэлектрическая пластина с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, были соединены и заряжены до напряжения $U$, а затем отключены от источника (рис. 141). Определите работу, которую надо совершить, чтобы вытащить диэлектрическую пластину из конденсатора. Электроёмкость воздушного конденсатора равна $C$.

Рис. 141

Решение.

Дано:

Два одинаковых конденсатора

Емкость воздушного конденсатора: $\text{C}$

Относительная диэлектрическая проницаемость пластины: $\epsilon$

Начальное напряжение на конденсаторах: $\text{U}$

Найти:

Работу $\text{A}$, которую надо совершить, чтобы вытащить диэлектрическую пластину.

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой для извлечения диэлектрической пластины, равна изменению энергии, запасенной в системе конденсаторов. Поскольку система отключается от источника питания после зарядки, ее полный электрический заряд остается постоянным.

$A = W_{кон} - W_{нач}$

где $W_{нач}$ — начальная энергия системы (с диэлектриком), а $W_{кон}$ — конечная энергия системы (без диэлектрика).

1. Начальное состояние (с диэлектриком).

Конденсаторы соединены параллельно. Емкость первого конденсатора, в который помещена диэлектрическая пластина, равна $C_1 = \epsilon C$. Емкость второго, воздушного, конденсатора равна $C_2 = C$.

Общая емкость системы в начальном состоянии:

$C_{нач} = C_1 + C_2 = \epsilon C + C = C(\epsilon + 1)$

Система заряжена до напряжения $\text{U}$. Полный заряд системы, который будет сохраняться после отключения от источника, равен:

$q = C_{нач} U = C(\epsilon + 1)U$

Начальная энергия, запасенная в конденсаторах:

$W_{нач} = \frac{C_{нач} U^2}{2} = \frac{C(\epsilon + 1)U^2}{2}$

2. Конечное состояние (без диэлектрика).

После извлечения диэлектрической пластины оба конденсатора становятся воздушными, и емкость каждого из них равна $\text{C}$.

Общая емкость системы в конечном состоянии:

$C_{кон} = C + C = 2C$

Так как система была отключена от источника, полный заряд $\text{q}$ сохранился. Энергию конечного состояния можно выразить через этот заряд и конечную емкость:

$W_{кон} = \frac{q^2}{2 C_{кон}}$

Подставим выражения для $\text{q}$ и $C_{кон}$:

$W_{кон} = \frac{(C(\epsilon + 1)U)^2}{2 (2C)} = \frac{C^2 (\epsilon + 1)^2 U^2}{4C} = \frac{C(\epsilon + 1)^2 U^2}{4}$

3. Вычисление работы.

Теперь найдем работу как разность конечной и начальной энергий:

$A = W_{кон} - W_{нач} = \frac{C(\epsilon + 1)^2 U^2}{4} - \frac{C(\epsilon + 1)U^2}{2}$

Приведем второе слагаемое к общему знаменателю:

$A = \frac{C(\epsilon + 1)^2 U^2}{4} - \frac{2C(\epsilon + 1)U^2}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{C(\epsilon + 1)U^2}{4}$ за скобки:

$A = \frac{C(\epsilon + 1)U^2}{4} ((\epsilon + 1) - 2) = \frac{C(\epsilon + 1)U^2}{4} (\epsilon - 1)$

Используя формулу разности квадратов $(\epsilon + 1)(\epsilon - 1) = \epsilon^2 - 1$, получаем:

$A = \frac{C U^2 (\epsilon^2 - 1)}{4}$

Ответ: $A = \frac{C U^2 (\epsilon^2 - 1)}{4}$