Номер 599, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 599, страница 82.

Условие.

599. [939] На расстоянии 20 см от центра незаряженного металлического шара радиусом 10 см находится точечный положительный заряд 100 нКл. Определите потенциал шара. Какой заряд приобретёт шар, если его заземлить?

Решение.

Дано:

Расстояние от центра шара до заряда, $d = 20$ см

Радиус шара, $R = 10$ см

Величина точечного заряда, $q = 100$ нКл

Начальный заряд шара, $Q_0 = 0$

Электрическая постоянная, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$d = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$q = 100 \text{ нКл} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 10^{-7} \text{ Кл}$

Найти:

Потенциал шара, $\phi$ - ?

Заряд шара после заземления, $\text{Q}$ - ?

Решение:

Определите потенциал шара

Металлический шар является проводником. В электростатическом поле потенциал во всех точках проводника одинаков. Поэтому для нахождения потенциала шара достаточно найти потенциал в любой его точке, например, в центре.

Потенциал в центре шара создается внешним точечным зарядом $\text{q}$ и индуцированными на поверхности шара зарядами. Так как шар изначально незаряжен, суммарный индуцированный заряд равен нулю. Все индуцированные заряды находятся на поверхности шара, то есть на одинаковом расстоянии $\text{R}$ от центра. Потенциал, создаваемый ими в центре, равен:

$\phi_{инд} = \int \frac{k \, dq_{инд}}{R} = \frac{k}{R} \int dq_{инд} = \frac{k}{R} \cdot 0 = 0$

Потенциал, создаваемый в центре шара внешним точечным зарядом $\text{q}$, находящимся на расстоянии $\text{d}$ от центра, равен:

$\phi_q = k \frac{q}{d}$

Таким образом, потенциал всего шара равен потенциалу, который создает внешний заряд $\text{q}$ в центре шара:

$\phi = \phi_q + \phi_{инд} = k \frac{q}{d}$

Подставим числовые значения:

$\phi = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{10^{-7} \text{ Кл}}{0.2 \text{ м}} = \frac{9 \cdot 10^2}{0.2} \text{ В} = 4500 \text{ В} = 4.5 \text{ кВ}$

Ответ: Потенциал шара равен 4.5 кВ.

Какой заряд приобретёт шар, если его заземлить?

При заземлении проводника его потенциал становится равным потенциалу Земли, то есть нулю ($\phi' = 0$). Шар приобретает некоторый заряд $\text{Q}$ за счет перетекания зарядов между ним и Землей.

Потенциал шара в этом случае будет складываться из потенциала, создаваемого внешним зарядом $\text{q}$ в центре шара ($\phi_q$), и потенциала, создаваемого собственным зарядом $\text{Q}$ шара ($\phi_Q$).

Потенциал от внешнего заряда $\text{q}$ в центре шара останется прежним:

$\phi_q = k \frac{q}{d}$

Заряд $\text{Q}$, полученный шаром от Земли, распределится по его поверхности. Потенциал, создаваемый этим зарядом в центре шара (все элементы заряда $dQ$ находятся на расстоянии $\text{R}$ от центра), равен:

$\phi_Q = k \frac{Q}{R}$

Суммарный потенциал заземленного шара равен нулю:

$\phi' = \phi_q + \phi_Q = k \frac{q}{d} + k \frac{Q}{R} = 0$

Отсюда выразим заряд $\text{Q}$:

$k \frac{Q}{R} = -k \frac{q}{d}$

$Q = -q \frac{R}{d}$

Знак минус указывает на то, что заряд шара будет противоположным по знаку внешнему заряду (положительный заряд $\text{q}$ притянет отрицательные заряды из Земли).

Подставим числовые значения:

$Q = -10^{-7} \text{ Кл} \cdot \frac{0.1 \text{ м}}{0.2 \text{ м}} = -10^{-7} \cdot 0.5 \text{ Кл} = -0.5 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = -50 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = -50 \text{ нКл}$

Ответ: Шар приобретёт заряд -50 нКл.