Номер 667, страница 93, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 667, страница 93.

Условие.

667. [544] Во внешней цепи при силе тока $I_1 = 5 \text{ А}$ выделяется мощность $P_1 = 9,5 \text{ Вт}$, а при силе тока $I_2 = 8 \text{ А}$ — мощность $P_2 = 14,4 \text{ Вт}$. Вычислите силу тока короткого замыкания.

Решение.

Дано:

$I_1 = 5$ А

$P_1 = 9,5$ Вт

$I_2 = 8$ А

$P_2 = 14,4$ Вт

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$I_{кз}$

Решение:

Мощность $\text{P}$, выделяемая во внешней цепи, связана с силой тока $\text{I}$ и внешним сопротивлением $\text{R}$ соотношением $P = I^2 R$. Закон Ома для полной цепи имеет вид $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$, где $\mathcal{E}$ – ЭДС источника, а $\text{r}$ – его внутреннее сопротивление.

Из закона Ома для полной цепи выразим ЭДС: $\mathcal{E} = I(R+r)$. Из формулы для мощности выразим внешнее сопротивление $R = \frac{P}{I^2}$ и подставим в выражение для ЭДС:

$\mathcal{E} = I \left( \frac{P}{I^2} + r \right) = \frac{P}{I} + Ir$

Это уравнение связывает ЭДС и внутреннее сопротивление с измеряемыми в опыте силой тока и мощностью. Запишем это уравнение для двух заданных в условии режимов работы цепи:

1. $\mathcal{E} = \frac{P_1}{I_1} + I_1 r$

2. $\mathcal{E} = \frac{P_2}{I_2} + I_2 r$

Поскольку ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $\text{r}$ являются постоянными характеристиками источника тока, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений для того, чтобы найти неизвестное внутреннее сопротивление $\text{r}$:

$\frac{P_1}{I_1} + I_1 r = \frac{P_2}{I_2} + I_2 r$

Сгруппируем слагаемые с $\text{r}$:

$I_1 r - I_2 r = \frac{P_2}{I_2} - \frac{P_1}{I_1}$

$r(I_1 - I_2) = \frac{P_2 I_1 - P_1 I_2}{I_1 I_2}$

$r = \frac{P_2 I_1 - P_1 I_2}{I_1 I_2 (I_1 - I_2)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r = \frac{14,4 \cdot 5 - 9,5 \cdot 8}{5 \cdot 8 \cdot (5 - 8)} = \frac{72 - 76}{40 \cdot (-3)} = \frac{-4}{-120} = \frac{1}{30}$ Ом.

Теперь, зная внутреннее сопротивление $\text{r}$, мы можем найти ЭДС, подставив значение $\text{r}$ в любое из двух исходных уравнений. Воспользуемся первым:

$\mathcal{E} = \frac{P_1}{I_1} + I_1 r = \frac{9,5}{5} + 5 \cdot \frac{1}{30} = 1,9 + \frac{5}{30} = 1,9 + \frac{1}{6}$

Для точности перейдем к обыкновенным дробям:

$\mathcal{E} = \frac{19}{10} + \frac{1}{6} = \frac{57}{30} + \frac{5}{30} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15}$ В.

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ — это ток в цепи при условии, что внешнее сопротивление равно нулю ($R=0$). По закону Ома для полной цепи:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Подставим найденные значения $\mathcal{E}$ и $\text{r}$:

$I_{кз} = \frac{31/15 \text{ В}}{1/30 \text{ Ом}} = \frac{31}{15} \cdot 30 = 31 \cdot 2 = 62$ А.

Ответ: сила тока короткого замыкания равна 62 А.