Номер 673, страница 94, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 673, страница 94.

Условие.

673. [550] Гальванический элемент с ЭДС, равной 4 В, и внутренним сопротивлением 2 Ом подключён к реостату с максимальным сопротивлением 6 Ом (рис. 155). Перемещая движок реостата, исследуют зависимость полезной мощности от силы тока. Начертите график полученной зависимости. При каком значении внешнего сопротивления мощность будет максимальна? Найдите её значение.

Рис. 155

Решение.

Дано:

ЭДС гальванического элемента, $\mathscr{E} = 4$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 2$ Ом

Максимальное сопротивление реостата, $R_{max} = 6$ Ом

Сопротивление реостата $\text{R}$ изменяется в пределах от $\text{0}$ до $\text{6}$ Ом.

Все величины представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

1. График зависимости полезной мощности от силы тока $P(I)$.

2. Внешнее сопротивление $\text{R}$, при котором мощность $\text{P}$ максимальна.

3. Максимальное значение полезной мощности $P_{max}$.

Решение:

Полезная мощность, выделяющаяся на внешнем сопротивлении $\text{R}$ (реостате), определяется по формуле:

$P = I^2 R$

где $\text{I}$ – сила тока в цепи. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$

Чтобы найти зависимость мощности $\text{P}$ от силы тока $\text{I}$, выразим внешнее сопротивление $\text{R}$ из закона Ома для полной цепи:

$R+r = \frac{\mathscr{E}}{I} \implies R = \frac{\mathscr{E}}{I} - r$

Теперь подставим это выражение для $\text{R}$ в формулу мощности:

$P(I) = I^2 \left( \frac{\mathscr{E}}{I} - r \right) = I\mathscr{E} - I^2r$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$P(I) = 4I - 2I^2$

Эта зависимость является квадратичной, а её график – парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $I^2$ отрицательный).

Начертите график полученной зависимости.

Для построения графика определим диапазон изменения силы тока в цепи. Сопротивление реостата $\text{R}$ меняется от $\text{0}$ до $\text{6}$ Ом.

Минимальный ток будет при максимальном сопротивлении $R = 6$ Ом:

$I_{min} = \frac{\mathscr{E}}{R_{max}+r} = \frac{4 \text{ В}}{6 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}} = \frac{4}{8} \text{ А} = 0.5$ А

Максимальный ток (ток короткого замыкания) будет при минимальном сопротивлении $R = 0$ Ом:

$I_{max} = I_{кз} = \frac{\mathscr{E}}{r} = \frac{4 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 2$ А

Таким образом, сила тока в цепи изменяется в пределах от $0.5$ А до $\text{2}$ А.

График представляет собой участок параболы $P(I) = 4I - 2I^2$ на интервале токов $I \in [0.5; 2]$.

Найдем ключевые точки для графика:

1. Начальная точка (при $I = 0.5$ А): $P = 4(0.5) - 2(0.5)^2 = 2 - 0.5 = 1.5$ Вт.

2. Конечная точка (при $I = 2$ А): $P = 4(2) - 2(2)^2 = 8 - 8 = 0$ Вт.

3. Вершина параболы (точка максимума). Координата $\text{I}$ вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.

$I_0 = \frac{-4}{2 \cdot (-2)} = 1$ А

Значение мощности в этой точке:

$P_{max} = 4(1) - 2(1)^2 = 2$ Вт.

График – это дуга параболы, начинающаяся в точке $(0.5; 1.5)$, достигающая максимума в точке $(1; 2)$ и заканчивающаяся в точке $(2; 0)$.

Ответ: Графиком является участок параболы $P = 4I - 2I^2$, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(1 \text{ А}; 2 \text{ Вт})$ на интервале токов $\text{I}$ от $0.5$ А до $\text{2}$ А.

При каком значении внешнего сопротивления мощность будет максимальна?

Как мы нашли ранее, максимальная мощность достигается при силе тока $I = 1$ А. Найдем соответствующее этому току внешнее сопротивление $\text{R}$ из закона Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r} \implies R = \frac{\mathscr{E}}{I} - r = \frac{4 \text{ В}}{1 \text{ А}} - 2 \text{ Ом} = 4 \text{ Ом} - 2 \text{ Ом} = 2$ Ом.

Таким образом, полезная мощность максимальна, когда внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока ($R=r$). Это значение ($\text{2}$ Ом) находится в пределах регулировки реостата (от $\text{0}$ до $\text{6}$ Ом).

Ответ: Мощность будет максимальна при внешнем сопротивлении $R = 2$ Ом.

Найдите её значение.

Максимальное значение мощности – это значение в вершине параболы, которое мы уже рассчитали.

$P_{max} = I_0 \mathscr{E} - I_0^2 r = 1 \cdot 4 - 1^2 \cdot 2 = 4 - 2 = 2$ Вт.

Также можно рассчитать, используя найденные $\text{R}$ и $\text{I}$ для случая максимальной мощности:

$P_{max} = I_0^2 R = (1 \text{ А})^2 \cdot 2 \text{ Ом} = 2$ Вт.

Ответ: Максимальное значение полезной мощности равно $\text{2}$ Вт.