Номер 677, страница 94, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 677, страница 94.

Условие.

677. [554] Источник тока с ЭДС $\mathcal{E} = 30$ В и внутренним сопротивлением $r = 6$ Ом замкнули на два резистора, соединённые параллельно. При этом на резисторе $\text{R1}$ выделяется количество теплоты в 3 раза больше, а на резисторе $\text{R2}$ — в 6 раз больше, чем на внутреннем сопротивлении источника. Определите силы токов, идущих во всех участках цепи.

Решение.

Дано:

ЭДС источника, $\mathcal{E} = 30$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 6$ Ом

Резисторы R1 и R2 соединены параллельно.

Количество теплоты на R1, $Q_1 = 3 Q_r$

Количество теплоты на R2, $Q_2 = 6 Q_r$

где $Q_r$ — количество теплоты на внутреннем сопротивлении.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тока в неразветвленной части цепи $\text{I}$

Силу тока через резистор R1, $I_1$

Силу тока через резистор R2, $I_2$

Решение:

Количество теплоты, выделяемое в проводнике за время $\text{t}$, определяется законом Джоуля-Ленца: $Q = P \cdot t = I^2 R t$, где $\text{P}$ — мощность тока. Поскольку время для всех элементов цепи одинаково, соотношение количеств теплоты равно соотношению мощностей:

$P_1 = 3 P_r$

$P_2 = 6 P_r$

где $P_1$, $P_2$ и $P_r$ — мощности, выделяемые на резисторах R1, R2 и на внутреннем сопротивлении $\text{r}$ соответственно.

Мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении, равна $P_r = I^2 r$, где $\text{I}$ — полный ток в цепи.

Резисторы R1 и R2 соединены параллельно. Общая мощность, выделяемая во внешней цепи ($P_{внешн}$), равна сумме мощностей на каждом резисторе:

$P_{внешн} = P_1 + P_2 = 3 P_r + 6 P_r = 9 P_r$

Мощность во внешней цепи также можно выразить через общее внешнее сопротивление $R_{внешн}$ (эквивалентное сопротивление параллельно соединенных R1 и R2):

$P_{внешн} = I^2 R_{внешн}$

Приравнивая два выражения для $P_{внешн}$, получаем:

$I^2 R_{внешн} = 9 P_r = 9 (I^2 r)$

Сократив на $I^2$, находим общее сопротивление внешней цепи:

$R_{внешн} = 9r = 9 \cdot 6 \text{ Ом} = 54 \text{ Ом}$.

Теперь, используя закон Ома для полной цепи, найдем общий ток $\text{I}$, текущий от источника:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внешн} + r} = \frac{30 \text{ В}}{54 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{30}{60} \text{ А} = 0,5 \text{ А}$.

Это сила тока в неразветвленной части цепи.

Для нахождения токов $I_1$ и $I_2$ в параллельных ветвях, найдем напряжение на внешней цепи $U_{внешн}$:

$U_{внешн} = I \cdot R_{внешн} = 0,5 \text{ А} \cdot 54 \text{ Ом} = 27 \text{ В}$.

Также это напряжение можно найти как $U_{внешн} = \mathcal{E} - I r = 30 \text{ В} - 0,5 \text{ А} \cdot 6 \text{ Ом} = 30 - 3 = 27 \text{ В}$.

Поскольку резисторы соединены параллельно, напряжение на них одинаково и равно $U_{внешн}$.

Теперь найдем сопротивления $R_1$ и $R_2$. Из соотношений мощностей:

$P_1 = \frac{U_{внешн}^2}{R_1} = 3 P_r = 3 I^2 r$

$R_1 = \frac{U_{внешн}^2}{3 I^2 r} = \frac{(27 \text{ В})^2}{3 \cdot (0,5 \text{ А})^2 \cdot 6 \text{ Ом}} = \frac{729}{3 \cdot 0,25 \cdot 6} = \frac{729}{4,5} = 162 \text{ Ом}$.

$P_2 = \frac{U_{внешн}^2}{R_2} = 6 P_r = 6 I^2 r$

$R_2 = \frac{U_{внешн}^2}{6 I^2 r} = \frac{(27 \text{ В})^2}{6 \cdot (0,5 \text{ А})^2 \cdot 6 \text{ Ом}} = \frac{729}{6 \cdot 0,25 \cdot 6} = \frac{729}{9} = 81 \text{ Ом}$.

Зная сопротивления и напряжение, найдем токи $I_1$ и $I_2$ по закону Ома для участка цепи:

$I_1 = \frac{U_{внешн}}{R_1} = \frac{27 \text{ В}}{162 \text{ Ом}} = \frac{1}{6} \text{ А} \approx 0,17 \text{ А}$.

$I_2 = \frac{U_{внешн}}{R_2} = \frac{27 \text{ В}}{81 \text{ Ом}} = \frac{1}{3} \text{ А} \approx 0,33 \text{ А}$.

Проверим выполнение первого правила Кирхгофа: $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{6} \text{ А} + \frac{1}{3} \text{ А} = \frac{1+2}{6} \text{ А} = \frac{3}{6} \text{ А} = 0,5 \text{ А}$. Результат совпадает с найденным общим током.

Ответ: сила тока в неразветвленной части цепи $I = 0,5$ А; сила тока через резистор R1 $I_1 = 1/6$ А (приблизительно $0,17$ А); сила тока через резистор R2 $I_2 = 1/3$ А (приблизительно $0,33$ А).