Номер 681, страница 95, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 681, страница 95.

Условие.

681. [558] На внешней нагрузке, подключённой к аккумуляторной батарее, выделяется мощность 1 Вт. Чему равен КПД источника в этом случае, если при подключении той же нагрузки к двум таким же батареям, соединённым последовательно, мощность, выделяемая на нагрузке, равна 1,44 Вт?

Решение.

Дано:

$P_1 = 1 \text{ Вт}$

$P_2 = 1.44 \text{ Вт}$

Найти:

$\eta_1$

Решение:

Обозначим ЭДС одной аккумуляторной батареи как $\mathcal{E}$, её внутреннее сопротивление как $\text{r}$, а сопротивление внешней нагрузки как $\text{R}$.

В первом случае, когда к нагрузке подключена одна батарея, сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Мощность, выделяемая на внешней нагрузке $\text{R}$, в этом случае составляет:

$P_1 = I_1^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = 1 \text{ Вт}$

Во втором случае, когда две такие же батареи соединены последовательно, их общая ЭДС становится равной $2\mathcal{E}$, а общее внутреннее сопротивление $2r$. Сила тока в цепи будет:

$I_2 = \frac{2\mathcal{E}}{R+2r}$

Мощность, выделяемая на той же внешней нагрузке, в этом случае равна:

$P_2 = I_2^2 R = \left(\frac{2\mathcal{E}}{R+2r}\right)^2 R = \frac{4\mathcal{E}^2 R}{(R+2r)^2} = 1.44 \text{ Вт}$

Разделим выражение для мощности во втором случае на выражение для мощности в первом случае:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{4\mathcal{E}^2 R}{(R+2r)^2}}{\frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}} = \frac{4(R+r)^2}{(R+2r)^2}$

Подставим известные значения мощностей:

$\frac{1.44}{1} = 4\left(\frac{R+r}{R+2r}\right)^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения (так как сопротивления и ток являются положительными величинами):

$\sqrt{1.44} = 2 \cdot \frac{R+r}{R+2r}$

$1.2 = 2 \cdot \frac{R+r}{R+2r}$

Разделим обе части на 2:

$0.6 = \frac{R+r}{R+2r}$

Решим это уравнение, чтобы найти соотношение между $\text{R}$ и $\text{r}$:

$0.6(R+2r) = R+r$

$0.6R + 1.2r = R+r$

$1.2r - r = R - 0.6R$

$0.2r = 0.4R$

Отсюда получаем: $r = 2R$.

КПД ($\eta$) источника определяется как отношение полезной мощности (выделяемой на внешней нагрузке) ко всей мощности, развиваемой источником. Для первого случая:

$\eta_1 = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I_1^2 R}{I_1^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Подставим найденное соотношение $r = 2R$ в формулу для КПД:

$\eta_1 = \frac{R}{R+2R} = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3}$

Ответ: КПД источника в этом случае равен $1/3$ (или примерно $33.3\%$).