Номер 676, страница 94, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 676, страница 94.

Условие.

676. [553] Источник тока, замкнутый на проводник, имеет ЭДС $\mathcal{E} = 10 \text{ В}$, его внутреннее сопротивление $r = 2 \text{ Ом}$. Чему равно сопротивление проводника, если известно, что полезная мощность при замыкании цепи $P_{\text{пол}} = 6,94 \text{ Вт}?$

Решение.

Дано:

ЭДС источника тока, $ \mathscr{E} = 10 \text{ В} $

Внутреннее сопротивление, $ r = 2 \text{ Ом} $

Полезная мощность, $ P_{пол} = 6,94 \text{ Вт} $

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сопротивление проводника, $ R $

Решение:

Сила тока в полной цепи определяется по закону Ома для полной цепи:

$ I = \frac{\mathscr{E}}{R + r} $

где $ \mathscr{E} $ — ЭДС источника, $ R $ — сопротивление внешнего проводника, $ r $ — внутреннее сопротивление источника.

Полезная мощность, то есть мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $ R $, вычисляется по формуле закона Джоуля-Ленца:

$ P_{пол} = I^2 R $

Подставим выражение для силы тока $ I $ из первой формулы во вторую:

$ P_{пол} = \left(\frac{\mathscr{E}}{R + r}\right)^2 R = \frac{\mathscr{E}^2 R}{(R + r)^2} $

Получили уравнение с одной неизвестной $ R $. Преобразуем его для решения относительно $ R $:

$ P_{пол} (R + r)^2 = \mathscr{E}^2 R $

Раскроем скобки:

$ P_{пол} (R^2 + 2Rr + r^2) = \mathscr{E}^2 R $

$ P_{пол} R^2 + 2P_{пол}rR + P_{пол}r^2 - \mathscr{E}^2 R = 0 $

Сгруппируем члены, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ aR^2 + bR + c = 0 $:

$ P_{пол} R^2 + (2P_{пол}r - \mathscr{E}^2)R + P_{пол}r^2 = 0 $

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ a = P_{пол} = 6,94 $

$ b = 2P_{пол}r - \mathscr{E}^2 = 2 \cdot 6,94 \cdot 2 - 10^2 = 27,76 - 100 = -72,24 $

$ c = P_{пол}r^2 = 6,94 \cdot 2^2 = 6,94 \cdot 4 = 27,76 $

Таким образом, мы получили квадратное уравнение:

$ 6,94 R^2 - 72,24 R + 27,76 = 0 $

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $ D $:

$ D = b^2 - 4ac = (-72,24)^2 - 4 \cdot 6,94 \cdot 27,76 = 5218,6176 - 769,1776 = 4449,44 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$ \sqrt{D} = \sqrt{4449,44} \approx 66,704 $

$ R_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{72,24 \pm 66,704}{2 \cdot 6,94} = \frac{72,24 \pm 66,704}{13,88} $

Вычислим оба корня:

$ R_1 = \frac{72,24 + 66,704}{13,88} = \frac{138,944}{13,88} \approx 10,01 \text{ Ом} $

$ R_2 = \frac{72,24 - 66,704}{13,88} = \frac{5,536}{13,88} \approx 0,399 \text{ Ом} $

Оба полученных значения сопротивления являются положительными и, следовательно, физически возможными. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: сопротивление проводника может быть равно $ 10,01 \text{ Ом} $ или $ 0,399 \text{ Ом} $.