Номер 683, страница 95, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электронная проводимость металлов - номер 683, страница 95.

Условие.

683. [559] Считая электронный газ в металле идеальным, рассчитайте среднюю квадратичную скорость теплового движения электронов при температуре 27 °С.

Решение.

Дано:

Электронный газ в металле считается идеальным.

Температура, $t = 27$ °C

Масса электрона (справочная величина), $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Постоянная Больцмана (справочная величина), $k \approx 1.38 \times 10^{-23}$ Дж/К

Перевод в СИ:

Абсолютная температура: $T = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Среднюю квадратичную скорость теплового движения электронов $v_{ск}$.

Решение:

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц идеального газа зависит от абсолютной температуры. Эта зависимость выражается формулой:

$\overline{E_k} = \frac{3}{2}kT$

где $\overline{E_k}$ - средняя кинетическая энергия, $\text{k}$ - постоянная Больцмана, $\text{T}$ - абсолютная температура.

В то же время, средняя кинетическая энергия связана с массой частицы (в данном случае - электрона, $m_e$) и её средней квадратичной скоростью $v_{ск}$:

$\overline{E_k} = \frac{m_e v_{ск}^2}{2}$

Приравняем правые части этих двух выражений, так как они обе описывают одну и ту же величину:

$\frac{m_e v_{ск}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$

Из этого уравнения выразим искомую среднюю квадратичную скорость $v_{ск}$:

$m_e v_{ск}^2 = 3kT$

$v_{ск} = \sqrt{\frac{3kT}{m_e}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$v_{ск} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}}$

$v_{ск} = \sqrt{\frac{1.242 \cdot 10^{-20}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с}$

$v_{ск} \approx \sqrt{0.1363 \cdot 10^{11}} \text{ м/с} = \sqrt{1.363 \cdot 10^{10}} \text{ м/с}$

$v_{ск} \approx 1.17 \cdot 10^5$ м/с

Это значение также можно выразить как 117 км/с.

Ответ: $v_{ск} \approx 1.17 \cdot 10^5$ м/с.