Номер 686, страница 96, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электронная проводимость металлов - номер 686, страница 96.

Условие.

686. [562] Через железный проводник с площадью поперечного сечения $4 \, \text{мм}^2$ и длиной $1 \, \text{м}$ в течение $0,5 \, \text{ч}$ пропускается электрический ток. Сила тока поддерживается постоянной и равной $1 \, \text{А}$. Оцените увеличение сопротивления проводника за это время. Следует ли учитывать изменение силы тока вследствие нагрева?

Решение.

Оцените увеличение сопротивления проводника за это время.

Дано:

Материал: железо

Площадь поперечного сечения, $S = 4 \, \text{мм}^2$

Длина, $L = 1 \, \text{м}$

Время, $t = 0,5 \, \text{ч}$

Сила тока, $I = 1 \, \text{А}$

Для расчетов потребуются справочные данные для железа (примем начальную температуру около $20^\circ\text{C}$):

Удельное сопротивление, $\rho_0 \approx 1,0 \cdot 10^{-7} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$

Плотность, $\rho_{\text{пл}} \approx 7800 \, \text{кг/м}^3$

Удельная теплоемкость, $c \approx 460 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Температурный коэффициент сопротивления, $\alpha \approx 6,5 \cdot 10^{-3} \, \text{К}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$S = 4 \, \text{мм}^2 = 4 \cdot (10^{-3} \, \text{м})^2 = 4 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$

$t = 0,5 \, \text{ч} = 0,5 \cdot 3600 \, \text{с} = 1800 \, \text{с}$

Найти:

Увеличение сопротивления, $\Delta R$

Решение:

1. Найдем начальное сопротивление проводника $R_0$ по формуле:

$R_0 = \frac{\rho_0 L}{S}$

$R_0 = \frac{1,0 \cdot 10^{-7} \, \text{Ом} \cdot \text{м} \cdot 1 \, \text{м}}{4 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} = 0,025 \, \text{Ом}$

2. При прохождении тока по проводнику выделяется теплота $\text{Q}$ в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Для оценки будем считать сопротивление примерно постоянным и равным $R_0$.

$Q = I^2 R_0 t$

$Q = (1 \, \text{А})^2 \cdot 0,025 \, \text{Ом} \cdot 1800 \, \text{с} = 45 \, \text{Дж}$

3. Эта теплота идет на нагрев проводника. Предположим, что теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Тогда изменение температуры проводника $\Delta T$ можно найти из формулы:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$, где $\text{m}$ - масса проводника.

4. Вычислим массу проводника:

$m = \rho_{\text{пл}} \cdot V = \rho_{\text{пл}} \cdot S \cdot L$

$m = 7800 \, \text{кг/м}^3 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2 \cdot 1 \, \text{м} = 0,0312 \, \text{кг}$

5. Теперь найдем изменение температуры:

$\Delta T = \frac{Q}{c \cdot m}$

$\Delta T = \frac{45 \, \text{Дж}}{460 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,0312 \, \text{кг}} \approx 3,13 \, \text{К}$

6. Увеличение сопротивления $\Delta R$ связано с изменением температуры $\Delta T$ следующим образом:

$\Delta R = R_0 \alpha \Delta T$

$\Delta R = 0,025 \, \text{Ом} \cdot 6,5 \cdot 10^{-3} \, \text{К}^{-1} \cdot 3,13 \, \text{К} \approx 5,09 \cdot 10^{-4} \, \text{Ом}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

$\Delta R \approx 5,1 \cdot 10^{-4} \, \text{Ом}$ или $0,51 \, \text{мОм}$.

Ответ: увеличение сопротивления проводника составляет примерно $5,1 \cdot 10^{-4} \, \text{Ом}$.

Следует ли учитывать изменение силы тока вследствие нагрева?

В условии задачи прямо указано, что "Сила тока поддерживается постоянной и равной 1 А". Это означает, что для поддержания постоянной силы тока при увеличении сопротивления проводника, источник питания должен был бы увеличивать подаваемое напряжение. Следовательно, в рамках условий данной задачи, изменение силы тока не происходит, и учитывать его не нужно.

Если бы вопрос стоял иначе (например, если бы проводник был подключен к источнику постоянного напряжения), то следовало бы оценить необходимость учета изменения силы тока. Относительное изменение сопротивления в нашем случае составляет:

$\frac{\Delta R}{R_0} = \frac{5,1 \cdot 10^{-4} \, \text{Ом}}{0,025 \, \text{Ом}} \approx 0,0204$

Это соответствует изменению примерно на 2%. При постоянном напряжении сила тока уменьшилась бы на такую же относительную величину. В зависимости от требуемой точности расчетов, такое изменение может быть как незначительным, так и существенным. Однако, исходя из формулировки задачи, сила тока остается неизменной.

Ответ: нет, не следует, так как по условию задачи сила тока поддерживается постоянной.