Номер 689, страница 96, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электронная проводимость металлов - номер 689, страница 96.

Условие.

689. H При нагревании сопротивление графитового стержня уменьшается ($\alpha = -5 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1}$). Последовательно к нему подключают нихромовый резистор. Определите сопротивление стержня и резистора, если их полное сопротивление не изменяется при повышении температуры и равно 5,4 Ом.

Решение.

Дано:

Температурный коэффициент сопротивления графитового стержня $α_1 = -5 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1}$

Полное сопротивление цепи $R_{общ} = 5,4 \text{ Ом}$

Условие: полное сопротивление не изменяется при нагревании, $\Delta R_{общ} = 0$

Температурный коэффициент сопротивления нихрома (справочная величина) $α_2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1}$

Найти:

Сопротивление графитового стержня $R_1$ - ?

Сопротивление нихромового резистора $R_2$ - ?

Решение:

Обозначим начальные сопротивления графитового стержня и нихромового резистора как $R_1$ и $R_2$ соответственно. Поскольку они соединены последовательно, их полное сопротивление равно сумме их сопротивлений:

$R_{общ} = R_1 + R_2$

По условию, $R_{общ} = 5,4 \text{ Ом}$, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$R_1 + R_2 = 5,4$ (1)

Зависимость сопротивления от температуры описывается формулой:

$R(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)$, где $R_0$ – сопротивление при начальной температуре, $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta T$ – изменение температуры.

При изменении температуры на $\Delta T$ новые сопротивления стержня и резистора будут:

$R'_1 = R_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$

$R'_2 = R_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$

Новое полное сопротивление цепи будет равно сумме новых сопротивлений:

$R'_{общ} = R'_1 + R'_2 = R_1(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$

Согласно условию задачи, полное сопротивление не изменяется, то есть $R'_{общ} = R_{общ}$.

$R_1(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_2(1 + \alpha_2 \Delta T) = R_1 + R_2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$R_1 + R_1 \alpha_1 \Delta T + R_2 + R_2 \alpha_2 \Delta T = R_1 + R_2$

Вычтем из обеих частей $R_1 + R_2$:

$R_1 \alpha_1 \Delta T + R_2 \alpha_2 \Delta T = 0$

Поскольку это равенство должно выполняться для любого изменения температуры $\Delta T \neq 0$, мы можем разделить обе части на $\Delta T$:

$R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R_1$ и $R_2$:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 5,4 \\ R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $R_2$: $R_2 = 5,4 - R_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$R_1 \alpha_1 + (5,4 - R_1) \alpha_2 = 0$

$R_1 \alpha_1 + 5,4 \alpha_2 - R_1 \alpha_2 = 0$

$R_1 (\alpha_1 - \alpha_2) = -5,4 \alpha_2$

$R_1 = \frac{-5,4 \alpha_2}{\alpha_1 - \alpha_2} = \frac{5,4 \alpha_2}{\alpha_2 - \alpha_1}$

Подставим числовые значения для $\alpha_1$ и $\alpha_2$:

$R_1 = \frac{5,4 \cdot (4 \cdot 10^{-4})}{4 \cdot 10^{-4} - (-5 \cdot 10^{-4})} = \frac{5,4 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{(4 + 5) \cdot 10^{-4}} = \frac{5,4 \cdot 4}{9} = \frac{21,6}{9} = 2,4 \text{ Ом}$

Теперь найдем $R_2$ из первого уравнения:

$R_2 = 5,4 - R_1 = 5,4 - 2,4 = 3,0 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление графитового стержня равно 2,4 Ом, сопротивление нихромового резистора равно 3,0 Ом.