Номер 691, страница 96, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в полупроводниках - номер 691, страница 96.

Условие.

691. [565] Концентрация свободных электронов в металле порядка $10^{29} \text{ м}^{-3}$, а в полупроводнике при $20 \degree \text{C}$ порядка $10^{17} \text{ м}^{-3}$. Во сколько раз сопротивление полупроводника меньше сопротивления металла? Геометрические размеры проволок, изготовленных из этих материалов, одинаковы.

Решение.

Дано:

Концентрация свободных электронов в металле, $n_м \approx 10^{29}$ м$^{-3}$

Концентрация свободных электронов в полупроводнике, $n_п \approx 10^{17}$ м$^{-3}$

Геометрические размеры проволок одинаковы: $L_м = L_п = L$, $S_м = S_п = S$.

Найти:

Отношение сопротивления полупроводника к сопротивлению металла, $\frac{R_п}{R_м}$.

Решение:

Сопротивление проводника $\text{R}$ рассчитывается по формуле:

$R = \rh°\frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{L}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Поскольку по условию геометрические размеры проволок из металла и полупроводника одинаковы ($\text{L}$ и $\text{S}$ равны для обоих), отношение их сопротивлений будет равно отношению их удельных сопротивлений:

$\frac{R_п}{R_м} = \frac{\rho_п \frac{L}{S}}{\rho_м \frac{L}{S}} = \frac{\rho_п}{\rho_м}$

Удельное сопротивление материала, в свою очередь, обратно пропорционально концентрации свободных носителей заряда $\text{n}$ и их подвижности $\mu$. Связь выражается формулой:

$\rh°= \frac{1}{n e \mu}$

где $\text{e}$ — элементарный заряд.

Подставим это выражение в отношение сопротивлений:

$\frac{R_п}{R_м} = \frac{\rho_п}{\rho_м} = \frac{1 / (n_п e \mu_п)}{1 / (n_м e \mu_м)} = \frac{n_м \mu_м}{n_п \mu_п}$

В задаче требуется оценить порядок величины. Главное различие между металлами и полупроводниками заключается в концентрации свободных носителей заряда, которая отличается на 12 порядков. Подвижность носителей заряда ($\mu_м$ и $\mu_п$) также различается, но не так значительно. Для оценочного расчета, сфокусированного на доминирующем факторе, можно принять, что подвижности носителей заряда в металле и полупроводнике одного порядка, то есть $\mu_м \approx \mu_п$.

При таком допущении отношение сопротивлений будет определяться в основном отношением концентраций:

$\frac{R_п}{R_м} \approx \frac{n_м}{n_п}$

Подставим заданные числовые значения:

$\frac{R_п}{R_м} \approx \frac{10^{29}}{10^{17}} = 10^{12}$

Результат показывает, что сопротивление полупроводника примерно в $10^{12}$ раз больше сопротивления металла. Вопрос в задаче «Во сколько раз сопротивление полупроводника меньше сопротивления металла?» сформулирован некорректно, так как сопротивление полупроводника на много порядков больше. Отвечая по существу, мы находим отношение большего сопротивления к меньшему.

Ответ: Сопротивление полупроводника больше сопротивления металла примерно в $10^{12}$ раз.