Номер 690, страница 96, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электронная проводимость металлов - номер 690, страница 96.

Условие.

690. H При нагревании тела расширяются. Выясните, что главным образом определяет изменение сопротивления при нагревании железного проводника диаметром 2 мм и длиной 40 см от 0 до 100 °С — изменение размера или зависимость удельного сопротивления от температуры.

Решение.

Дано:

Материал проводника – железо

Начальный диаметр, $d_1 = 2 \text{ мм}$

Начальная длина, $L_1 = 40 \text{ см}$

Начальная температура, $t_1 = 0 \text{ °C}$

Конечная температура, $t_2 = 100 \text{ °C}$

Температурный коэффициент сопротивления железа (справочное значение), $\alpha \approx 6.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$

Коэффициент линейного теплового расширения железа (справочное значение), $\beta \approx 12 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}$

Перевод в СИ:

$d_1 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$L_1 = 0.4 \text{ м}$

Изменение температуры, $\Delta t = t_2 - t_1 = 100 \text{ °C} = 100 \text{ К}$

Найти:

Какой фактор – изменение размеров проводника или зависимость удельного сопротивления от температуры – вносит основной вклад в изменение его сопротивления при нагревании.

Решение:

Сопротивление проводника $\text{R}$ определяется по формуле:

$R = \rh°\frac{L}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{L}$ – длина проводника, $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

При нагревании изменяются как геометрические размеры проводника (длина $\text{L}$ и площадь $\text{S}$), так и его удельное сопротивление $\rho$. Чтобы выяснить, какой фактор является главным, оценим относительное изменение сопротивления, вызванное каждым из этих факторов по отдельности.

1. Влияние изменения размеров (теплового расширения).

При нагревании на $\Delta t$ длина и диаметр проводника изменяются согласно формулам:

$L_2 = L_1 (1 + \beta \Delta t)$

$d_2 = d_1 (1 + \beta \Delta t)$

Площадь поперечного сечения $S = \pi d^2 / 4$ изменится так:

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (d_1(1+\beta\Delta t))^2}{4} = S_1 (1 + \beta\Delta t)^2 \approx S_1 (1 + 2\beta\Delta t)$

Здесь мы пренебрегли членом $(\beta\Delta t)^2$, так как он очень мал.

Сопротивление проводника, обусловленное только изменением размеров (при $\rh°= \text{const}$), будет равно:

$R'_{\text{геом}} = \rho_1 \frac{L_2}{S_2} = \rho_1 \frac{L_1(1+\beta\Delta t)}{S_1(1+2\beta\Delta t)} = R_1 \frac{1+\beta\Delta t}{1+2\beta\Delta t}$

Относительное изменение сопротивления за счет теплового расширения:

$(\frac{\Delta R}{R_1})_{\text{геом}} = \frac{R'_{\text{геом}} - R_1}{R_1} = \frac{1+\beta\Delta t}{1+2\beta\Delta t} - 1 = \frac{1+\beta\Delta t - (1+2\beta\Delta t)}{1+2\beta\Delta t} = \frac{-\beta\Delta t}{1+2\beta\Delta t} \approx -\beta\Delta t$

Подставим числовые значения:

$(\frac{\Delta R}{R_1})_{\text{геом}} \approx -12 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1} \cdot 100 \text{ К} = -1.2 \cdot 10^{-3} = -0.0012$

Это соответствует уменьшению сопротивления на 0.12%.

2. Влияние зависимости удельного сопротивления от температуры.

При нагревании удельное сопротивление изменяется по закону:

$\rho_2 = \rho_1 (1 + \alpha \Delta t)$

Сопротивление проводника, обусловленное только изменением удельного сопротивления (при $L, S = \text{const}$), будет равно:

$R''_{\text{сопр}} = \rho_2 \frac{L_1}{S_1} = \rho_1(1+\alpha\Delta t)\frac{L_1}{S_1} = R_1(1+\alpha\Delta t)$

Относительное изменение сопротивления за счет этого фактора:

$(\frac{\Delta R}{R_1})_{\text{сопр}} = \frac{R''_{\text{сопр}} - R_1}{R_1} = \frac{R_1(1+\alpha\Delta t) - R_1}{R_1} = \alpha\Delta t$

Подставим числовые значения:

$(\frac{\Delta R}{R_1})_{\text{сопр}} = 6.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1} \cdot 100 \text{ К} = 0.65$

Это соответствует увеличению сопротивления на 65%.

Сравнение результатов

Сравним абсолютные величины относительных изменений сопротивления:

$|(\frac{\Delta R}{R_1})_{\text{геом}}| = 0.0012$

$|(\frac{\Delta R}{R_1})_{\text{сопр}}| = 0.65$

Очевидно, что $0.65 \gg 0.0012$. Изменение сопротивления, вызванное зависимостью удельного сопротивления от температуры, примерно в $0.65 / 0.0012 \approx 542$ раза больше, чем изменение, вызванное тепловым расширением.

Ответ:

Главным образом изменение сопротивления при нагревании железного проводника определяет зависимость его удельного сопротивления от температуры. Изменение размеров проводника (тепловое расширение) оказывает пренебрежимо малое влияние.