Номер 685, страница 95, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электрический ток в различных средах. Электронная проводимость металлов - номер 685, страница 95.

Условие.

685. [561] По медному проводнику диаметром 3,2 мм идёт ток. Сила тока 5 А. Определите:

1) скорость направленного движения электронов;

2) среднюю квадратичную скорость теплового движения, считая электронный газ идеальным газом.

Температура проводника 20 °С. Концентрация свободных электронов $1,08 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3}$.

Решение.

Дано:

Диаметр проводника, $d = 3,2$ мм
Сила тока, $I = 5$ А
Температура проводника, $t = 20$ °C
Концентрация свободных электронов, $n = 1,08 \cdot 10^{26}$ м⁻³

Справочные величины:
Заряд электрона, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг
Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

$d = 3,2 \cdot 10^{-3}$ м
$T = 20 + 273,15 = 293,15$ К

Найти:

1) $v_{d}$ — скорость направленного движения электронов
2) $v_{кв}$ — среднюю квадратичную скорость теплового движения

Решение:

1) скорость направленного движения электронов
Сила тока в проводнике связана со скоростью упорядоченного движения (дрейфовой скоростью) электронов $v_{d}$ формулой:
$I = n \cdot e \cdot v_{d} \cdot S$,
где $\text{n}$ — концентрация свободных электронов, $\text{e}$ — элементарный заряд, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения проводника.
Выразим из этой формулы искомую скорость:
$v_{d} = \frac{I}{n \cdot e \cdot S}$.
Площадь поперечного сечения для проводника круглого сечения с диаметром $\text{d}$ равна $S = \frac{\pi d^2}{4}$.
Подставим выражение для площади в формулу для скорости:
$v_{d} = \frac{I}{n \cdot e \cdot \frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4I}{n e \pi d^2}$.
Подставим числовые значения:
$v_{d} = \frac{4 \cdot 5 \text{ А}}{1,08 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot \pi \cdot (3,2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2} \approx \frac{20}{1,08 \cdot 10^{26} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 3,14 \cdot 10,24 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{20}{5,56 \cdot 10^2} \approx 0,036 \text{ м/с}$.
Ответ: $v_{d} \approx 0,036$ м/с или 36 мм/с.

2) среднюю квадратичную скорость теплового движения, считая электронный газ идеальным газом
Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия теплового движения частиц идеального газа связана с абсолютной температурой $\text{T}$ соотношением:
$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$,
где $\text{k}$ — постоянная Больцмана.
С другой стороны, средняя кинетическая энергия выражается через средний квадрат скорости: $\langle E_k \rangle = \frac{m_e \langle v^2 \rangle}{2}$, где $m_e$ — масса электрона, а $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости.
Приравнивая два выражения для энергии, получаем:
$\frac{m_e \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2}kT$.
Отсюда находим средний квадрат скорости: $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m_e}$.
Средняя квадратичная скорость $v_{кв}$ — это корень квадратный из среднего квадрата скорости:
$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m_e}}$.
Подставим числовые значения:
$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 293,15 \text{ К}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{1,214 \cdot 10^{-20}}{9,11 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{1,33 \cdot 10^{10}} \approx 1,15 \cdot 10^5$ м/с.
Ответ: $v_{кв} \approx 1,15 \cdot 10^5$ м/с.