Номер 679, страница 95, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 679, страница 95.

Условие.

679. [556] Три одинаковых источника тока, соединённые параллельно, замыкают на внешний резистор сопротивлением $R = 3 \, \text{Ом}$. При этом на нём выделяется такая же мощность, как и в случае подключения к этому резистору девяти таких же источников, соединённых последовательно. Определите внутреннее сопротивление одного источника.

Решение.

Дано:

$n_1 = 3$
$n_2 = 9$
$R = 3$ Ом
$P_1 = P_2$

Найти:

$\text{r}$

Решение:

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$, вычисляется по формуле $P = I^2 R$. Сила тока $\text{I}$ для полной цепи находится по закону Ома: $I = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R + r_{общ}}$, где $\mathcal{E}_{общ}$ и $r_{общ}$ — общие ЭДС и внутреннее сопротивление батареи источников. Обозначим ЭДС одного источника как $\mathcal{E}$, а его внутреннее сопротивление как $\text{r}$.

Рассмотрим первый случай: три одинаковых источника ($n_1 = 3$) соединены параллельно.

При параллельном соединении общая ЭДС батареи равна ЭДС одного источника, а общее внутреннее сопротивление рассчитывается по формуле для параллельного соединения резисторов:

$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}$

$r_1 = \frac{r}{n_1} = \frac{r}{3}$

Сила тока в цепи в первом случае:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}_1}{R + r_1} = \frac{\mathcal{E}}{R + r/3}$

Мощность на резисторе $\text{R}$ составляет:

$P_1 = I_1^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r/3}\right)^2 R$

Рассмотрим второй случай: девять таких же источников ($n_2 = 9$) соединены последовательно.

При последовательном соединении общая ЭДС и общее внутреннее сопротивление равны сумме соответствующих величин для каждого источника:

$\mathcal{E}_2 = n_2 \mathcal{E} = 9\mathcal{E}$

$r_2 = n_2 r = 9r$

Сила тока в цепи во втором случае:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}_2}{R + r_2} = \frac{9\mathcal{E}}{R + 9r}$

Мощность на резисторе $\text{R}$ составляет:

$P_2 = I_2^2 R = \left(\frac{9\mathcal{E}}{R + 9r}\right)^2 R$

Согласно условию задачи, мощности в обоих случаях равны, $P_1 = P_2$. Приравняем полученные выражения:

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R + r/3}\right)^2 R = \left(\frac{9\mathcal{E}}{R + 9r}\right)^2 R$

Сократим обе части уравнения на $\text{R}$ и $\mathcal{E}^2$ (так как они не равны нулю) и извлечем квадратный корень:

$\frac{1}{R + r/3} = \frac{9}{R + 9r}$

Решим полученное уравнение относительно $\text{r}$ методом перекрестного умножения:

$1 \cdot (R + 9r) = 9 \cdot (R + r/3)$

$R + 9r = 9R + 3r$

Сгруппируем слагаемые:

$9r - 3r = 9R - R$

$6r = 8R$

$r = \frac{8R}{6} = \frac{4R}{3}$

Подставим числовое значение сопротивления $R = 3$ Ом:

$r = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ Ом.

Ответ: внутреннее сопротивление одного источника составляет 4 Ом.