Номер 674, страница 94, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Законы постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи - номер 674, страница 94.

Условие.

674. [551] Суммарная мощность, выделяющаяся на резисторах, сопротивления которых равны 10 и 30 Ом, одинакова при их последовательном и параллельном соединениях. Определите внутреннее сопротивление источника тока, к которому они подключены.

Рис. 155

Решение.

Дано

$R_1 = 10$ Ом

$R_2 = 30$ Ом

$P_{посл} = P_{пар}$ (мощность при последовательном и параллельном соединении одинакова)

Найти:

$\text{r}$ — внутреннее сопротивление источника.

Решение

Мощность, выделяемая на внешней цепи, определяется по формуле $P = I^2 R$, где $\text{I}$ — сила тока в цепи, а $\text{R}$ — общее сопротивление внешней цепи. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$, где $\mathcal{E}$ — ЭДС источника, а $\text{r}$ — его внутреннее сопротивление.

Тогда формулу для мощности можно записать в виде: $P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R$.

1. Последовательное соединение.

Общее сопротивление внешней цепи $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2 = 10 + 30 = 40$ Ом.

Мощность, выделяемая на резисторах при последовательном соединении:

$P_{посл} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{посл} + r}\right)^2 R_{посл} = \left(\frac{\mathcal{E}}{40 + r}\right)^2 \cdot 40$.

2. Параллельное соединение.

Общее сопротивление внешней цепи $R_{пар}$ вычисляется по формуле:

$R_{пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \cdot 30}{10 + 30} = \frac{300}{40} = 7.5$ Ом.

Мощность, выделяемая на резисторах при параллельном соединении:

$P_{пар} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{пар} + r}\right)^2 R_{пар} = \left(\frac{\mathcal{E}}{7.5 + r}\right)^2 \cdot 7.5$.

3. Нахождение внутреннего сопротивления.

По условию задачи, мощности в обоих случаях равны: $P_{посл} = P_{пар}$.

$\left(\frac{\mathcal{E}}{40 + r}\right)^2 \cdot 40 = \left(\frac{\mathcal{E}}{7.5 + r}\right)^2 \cdot 7.5$

Сократим $\mathcal{E}^2$, так как ЭДС источника не равна нулю:

$\frac{40}{(40 + r)^2} = \frac{7.5}{(7.5 + r)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{\sqrt{40}}{40 + r} = \frac{\sqrt{7.5}}{7.5 + r}$

Используем свойство пропорции:

$\sqrt{40} \cdot (7.5 + r) = \sqrt{7.5} \cdot (40 + r)$

$7.5\sqrt{40} + r\sqrt{40} = 40\sqrt{7.5} + r\sqrt{7.5}$

$r\sqrt{40} - r\sqrt{7.5} = 40\sqrt{7.5} - 7.5\sqrt{40}$

$r(\sqrt{40} - \sqrt{7.5}) = \sqrt{40 \cdot 7.5} \cdot (\sqrt{40} - \sqrt{7.5})$

Поскольку $R_{посл} \neq R_{пар}$, то $(\sqrt{40} - \sqrt{7.5}) \neq 0$, и мы можем сократить этот множитель:

$r = \sqrt{40 \cdot 7.5} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ Ом.

Можно прийти к этому результату в общем виде. Из уравнения $r(\sqrt{R_{посл}} - \sqrt{R_{пар}}) = \sqrt{R_{посл}R_{пар}}(\sqrt{R_{посл}} - \sqrt{R_{пар}})$ следует, что $r = \sqrt{R_{посл}R_{пар}}$.

Подставив выражения для $R_{посл}$ и $R_{пар}$, получаем:

$r = \sqrt{(R_1 + R_2) \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} = \sqrt{R_1 R_2}$

Тогда расчет будет еще проще:

$r = \sqrt{10 \cdot 30} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ Ом.

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно $10\sqrt{3}$ Ом (приблизительно 17.3 Ом).