Номер 846, страница 119, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Интерференция, дифракция и поляризация механических волн - номер 846, страница 119.

Условие.

846 H.Труба длиной $6 \text{ см}$ закрыта с двух сторон, с одной стороны подвижным поршнем, с другой тонким диском с прикреплённым к нему стержнем длиной $60 \text{ см}$, закреплённым в середине. В трубе возбуждается стоячая волна, соответствующая самой низкой собственной частоте. Чему равна скорость звука в стержне, если скорость звука в воздухе равна $342 \text{ м/с}$?

Решение.

Дано

Длина трубы, $L_т = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
Длина стержня, $L_с = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
Скорость звука в воздухе, $v_в = 342 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость звука в стержне, $v_с$.

Решение

В задаче описана ситуация резонанса между колебаниями стержня и колебаниями столба воздуха в трубе. Частота колебаний, возбуждаемых в стержне, совпадает с одной из собственных частот столба воздуха в трубе. По условию, в трубе возбуждается стоячая волна, соответствующая самой низкой собственной частоте (основному тону).

1. Рассмотрим стоячую волну в трубе. Труба закрыта с двух сторон (поршнем и диском), поэтому на ее концах должны располагаться узлы смещения стоячей волны. Для основного тона (самой низкой частоты) между двумя узлами на концах трубы располагается одна пучность, а длина трубы равна половине длины волны звука в воздухе ($\lambda_в$).$L_т = \frac{\lambda_в}{2}$Частота этой волны $\text{f}$ связана со скоростью звука в воздухе $v_в$ и длиной волны $\lambda_в$ соотношением $f = \frac{v_в}{\lambda_в}$. Подставив выражение для длины волны, получим:$f = \frac{v_в}{2L_т}$

2. Рассмотрим стоячую волну в стержне. Стержень закреплен в середине, следовательно, в его центре находится узел смещения. Концы стержня свободны, поэтому на них будут пучности смещения. Для основного тона (самой низкой частоты) на длине стержня $L_с$ также укладывается половина длины волны ($\lambda_с$).$L_с = \frac{\lambda_с}{2}$Частота колебаний стержня $\text{f}$ связана со скоростью звука в материале стержня $v_с$ и длиной волны $\lambda_с$ соотношением $f = \frac{v_с}{\lambda_с}$. Подставив выражение для длины волны, получим:$f = \frac{v_с}{2L_с}$

3. В условиях резонанса частота колебаний стержня равна частоте стоячей волны в трубе. Приравняем полученные выражения для частоты:$\frac{v_в}{2L_т} = \frac{v_с}{2L_с}$

4. Выразим из этого равенства искомую скорость звука в стержне $v_с$:$v_с = v_в \frac{2L_с}{2L_т} = v_в \frac{L_с}{L_т}$

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:$v_с = 342 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{0.6 \text{ м}}{0.06 \text{ м}} = 342 \cdot 10 = 3420 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость звука в стержне равна $3420 \text{ м/с}$.