Номер 847, страница 119, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Интерференция, дифракция и поляризация механических волн - номер 847, страница 119.

Условие.

847. H Чему равна длина струны, если при её укорачивании на 10 см частота колебаний увеличивается в 1,5 раза?

Решение.

Дано:

Уменьшение длины струны, $\Delta L = 10$ см
Отношение конечной частоты к начальной, $\frac{f_2}{f_1} = 1.5$

Перевод в систему СИ:
$\Delta L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$L_1$ — начальная длина струны.

Решение:

Частота основного тона колебаний струны ($\text{f}$) определяется формулой $f = \frac{v}{2L}$, где $\text{v}$ — скорость распространения волны по струне, а $\text{L}$ — ее длина. Скорость волны $\text{v}$ зависит от физических свойств струны (натяжения, линейной плотности), которые в данном случае не изменяются. Следовательно, скорость $\text{v}$ является постоянной величиной.

Из формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна длине струны: $f \propt°\frac{1}{L}$ Это означает, что произведение частоты на длину для одной и той же струны есть величина постоянная: $f \cdot L = \text{const}$

Пусть $L_1$ и $f_1$ — начальные длина и частота струны, а $L_2$ и $f_2$ — конечные. Тогда можем записать равенство: $f_1 L_1 = f_2 L_2$

По условию задачи, струну укоротили на $\Delta L = 10$ см, значит, ее новая длина составляет: $L_2 = L_1 - \Delta L$ Частота при этом увеличилась в 1,5 раза: $f_2 = 1.5 f_1$

Подставим выражения для $L_2$ и $f_2$ в исходное равенство: $f_1 L_1 = (1.5 f_1) (L_1 - \Delta L)$

Сократим обе части уравнения на $f_1$ (так как частота не равна нулю): $L_1 = 1.5 (L_1 - \Delta L)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $L_1$: $L_1 = 1.5 L_1 - 1.5 \Delta L$ $1.5 L_1 - L_1 = 1.5 \Delta L$ $0.5 L_1 = 1.5 \Delta L$ $L_1 = \frac{1.5}{0.5} \Delta L$ $L_1 = 3 \Delta L$

Подставим известное значение $\Delta L = 10$ см в полученную формулу: $L_1 = 3 \cdot 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Ответ: начальная длина струны равна 30 см.