Номер 845, страница 118, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Интерференция, дифракция и поляризация механических волн - номер 845, страница 118.

Условие.

845. H Длина закрытой с одного конца трубки равна 0,75 см. Определите собственные частоты колебаний воздуха в трубке в звуковом диапазоне длин волн. Скорость звука примите равной 300 м/с.

Решение.

Дано:

Длина трубки, $L = 0,75$ см

Скорость звука в воздухе, $v = 300$ м/с

Звуковой диапазон частот для человеческого уха: от $20$ Гц до $20000$ Гц.

Перевод в систему СИ:

$L = 0,75 \text{ см} = 0,0075 \text{ м}$

Найти:

$\nu$ — собственные частоты колебаний в звуковом диапазоне.

Решение:

В закрытой с одного конца трубе могут возникать стоячие звуковые волны. При этом на закрытом конце всегда будет узел смещения (минимальная амплитуда колебаний частиц воздуха), а на открытом конце — пучность смещения (максимальная амплитуда).

Условие образования стоячих волн в такой трубе заключается в том, что на длине трубы $\text{L}$ должно укладываться нечетное число четвертей длин волн:

$L = (2k - 1) \frac{\lambda_k}{4}$, где $k = 1, 2, 3, ...$ — номер гармоники.

Отсюда можно выразить возможные длины волн:

$\lambda_k = \frac{4L}{2k - 1}$

Собственные частоты колебаний связаны с длиной волны и скоростью звука соотношением $\nu_k = \frac{v}{\lambda_k}$. Подставив выражение для $\lambda_k$, получим формулу для собственных частот:

$\nu_k = \frac{v(2k - 1)}{4L}$

Найдем значения этих частот, начиная с основной частоты ($k=1$), и проверим, попадают ли они в звуковой диапазон (от 20 Гц до 20000 Гц).

При $k=1$ (основной тон):

$\nu_1 = \frac{v(2 \cdot 1 - 1)}{4L} = \frac{v}{4L} = \frac{300 \text{ м/с}}{4 \cdot 0,0075 \text{ м}} = \frac{300}{0,03} = 10000 \text{ Гц}$

Частота $10000$ Гц (или $10$ кГц) находится в пределах слышимого диапазона ($20 \text{ Гц} < 10000 \text{ Гц} < 20000 \text{ Гц}$), следовательно, это одна из искомых частот.

При $k=2$ (первый обертон или третья гармоника):

$\nu_2 = \frac{v(2 \cdot 2 - 1)}{4L} = \frac{3v}{4L} = 3 \cdot \nu_1 = 3 \cdot 10000 \text{ Гц} = 30000 \text{ Гц}$

Частота $30000$ Гц (или $30$ кГц) превышает верхнюю границу слышимого диапазона ($30000 \text{ Гц} > 20000 \text{ Гц}$), поэтому она не является искомой.

Все последующие частоты (при $k > 2$) будут еще выше и, соответственно, также будут лежать за пределами звукового диапазона.

Таким образом, в звуковом диапазоне находится только одна собственная частота колебаний воздуха в данной трубке.

Ответ: $10000$ Гц.