Номер 591, страница 78 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

27. Поверхностное натяжение. Смачивание. Капиллярные явления. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 591, страница 78.

Условие.

591. Сравнить высоты поднятия воды и керосина в капиллярах равного радиуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$r_в = r_к = r$ (капилляры равного радиуса)
Жидкость 1: вода (индекс "в")
Жидкость 2: керосин (индекс "к")
Коэффициент поверхностного натяжения воды: $\sigma_в \approx 72.8 \cdot 10^{-3}$ Н/м
Коэффициент поверхностного натяжения керосина: $\sigma_к \approx 24 \cdot 10^{-3}$ Н/м
Плотность воды: $\rho_в \approx 1000$ кг/м³
Плотность керосина: $\rho_к \approx 800$ кг/м³
Ускорение свободного падения: $g$
Предполагаем полное смачивание для обеих жидкостей (краевой угол $\theta \approx 0$), поэтому $\cos\theta_в \approx 1$ и $\cos\theta_к \approx 1$.

Найти:

Сравнить высоты поднятия воды $h_в$ и керосина $h_к$.

Решение:

Высота поднятия жидкости в капилляре в результате действия сил поверхностного натяжения определяется формулой Жюрена: $h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r}$ где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, $\theta$ — краевой угол смачивания, $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $r$ — радиус капилляра.

Запишем данную формулу отдельно для воды и для керосина:
Высота поднятия воды: $h_в = \frac{2 \sigma_в \cos\theta_в}{\rho_в g r}$
Высота поднятия керосина: $h_к = \frac{2 \sigma_к \cos\theta_к}{\rho_к g r}$

Чтобы сравнить высоты $h_в$ и $h_к$, найдем их отношение, разделив одно уравнение на другое. Это позволит нам сократить общие для обоих случаев величины. $\frac{h_в}{h_к} = \frac{\frac{2 \sigma_в \cos\theta_в}{\rho_в g r}}{\frac{2 \sigma_к \cos\theta_к}{\rho_к g r}}$

Поскольку по условию радиусы капилляров $r$ одинаковы, ускорение свободного падения $g$ является константой, а косинусы краевых углов мы приняли равными единице, выражение значительно упрощается: $\frac{h_в}{h_к} = \frac{\sigma_в}{\sigma_к} \cdot \frac{\rho_к}{\rho_в}$

Теперь подставим в полученную формулу табличные значения физических величин для воды и керосина: $\frac{h_в}{h_к} = \frac{72.8 \cdot 10^{-3}}{24 \cdot 10^{-3}} \cdot \frac{800}{1000} \approx 3.033 \cdot 0.8 \approx 2.43$

Результат вычислений показывает, что отношение высот больше единицы. Это означает, что при прочих равных условиях вода в капилляре поднимется на большую высоту, чем керосин. В частности, примерно в 2.4 раза выше. Это происходит потому, что у воды значительно больший коэффициент поверхностного натяжения, и это влияние оказывается сильнее, чем влияние ее большей плотности.

Ответ: высота поднятия воды в капилляре равного радиуса больше высоты поднятия керосина ($h_в > h_к$). Отношение высот составляет $\frac{h_в}{h_к} \approx 2.43$, то есть вода поднимется примерно в 2.4 раза выше, чем керосин.