Номер 8.119, страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.5. Деление дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.119, страница 186.

Вычислите (8.119–8.121).

8.119 a) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \cdot 3 + (\frac{5}{6} - \frac{1}{2}) : \frac{2}{9};$

б) $(1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10}) : \frac{1}{2} + (6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}) : 1\frac{1}{6}.$

a) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \cdot 3 + (\frac{5}{6} - \frac{1}{2}) : \frac{2}{9}$

Решим задачу по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Вычислим сумму в первых скобках. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{6}$. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — это 12.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$

2. Вычислим разность во вторых скобках. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{2}$. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 — это 6.
$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{11}{12} \cdot 3 + \frac{1}{3} : \frac{2}{9}$

4. Выполним умножение:
$\frac{11}{12} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{12} = \frac{33}{12}$. Сократим дробь на 3: $\frac{33 \div 3}{12 \div 3} = \frac{11}{4}$.

5. Выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6}$. Сократим дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}$.

6. Выполним сложение полученных результатов:
$\frac{11}{4} + \frac{3}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 4: $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4}$.
$\frac{11}{4} + \frac{6}{4} = \frac{11 + 6}{4} = \frac{17}{4}$.

7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

б) $(1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10}) : \frac{1}{2} + (6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}) : 1\frac{1}{6}$

Решим задачу по действиям.

1. Вычислим сумму в первых скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю 10.
$1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10} = 1\frac{2}{10} + 2\frac{3}{10} = (1+2) + (\frac{2}{10} + \frac{3}{10}) = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2}$.

2. Вычислим разность во вторых скобках. Приведем дробные части к общему знаменателю 12.
$6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3} = 6\frac{9}{12} - 2\frac{8}{12} = (6-2) + (\frac{9}{12} - \frac{8}{12}) = 4\frac{1}{12}$.

3. Подставим полученные значения в выражение. Для удобства дальнейших вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$4\frac{1}{12} = \frac{4 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{49}{12}$
$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$
Выражение примет вид: $\frac{7}{2} : \frac{1}{2} + \frac{49}{12} : \frac{7}{6}$.

4. Выполним первое деление:
$\frac{7}{2} : \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{1} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 7$.

5. Выполним второе деление:
$\frac{49}{12} : \frac{7}{6} = \frac{49}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{49 \cdot 6}{12 \cdot 7}$. Сократим дроби перед умножением: 49 и 7 на 7, 12 и 6 на 6.
$\frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$.

6. Выполним сложение результатов:
$7 + \frac{7}{2}$. Преобразуем $\frac{7}{2}$ в смешанное число: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
$7 + 3\frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$.

Ответ: $10\frac{1}{2}$.