Номер 8.122, страница 186 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.5. Деление дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.122, страница 186.

8.122 РАССУЖДАЕМ Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$;

в) $\frac{20}{9}$ и $(\frac{20}{9})^2$;

г) $15 : \frac{7}{8}$ и $15 : (\frac{7}{8})^2$.

а) Сравниваем выражения $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$. В первом выражении число 999 умножается на правильную дробь $\frac{3}{4}$, которая меньше 1. При умножении положительного числа на число, меньшее 1, результат будет меньше исходного числа. Таким образом, $999 \cdot \frac{3}{4} < 999$. Во втором выражении число 999 делится на правильную дробь $\frac{3}{4}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $\frac{3}{4}$ - это $\frac{4}{3}$, которая больше 1. При умножении положительного числа на число, большее 1, результат будет больше исходного числа. Таким образом, $999 : \frac{3}{4} = 999 \cdot \frac{4}{3} > 999$. Поскольку $999 \cdot \frac{3}{4} < 999$ и $999 : \frac{3}{4} > 999$, то первое выражение меньше второго.
Ответ: $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

б) Сравниваем выражения $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$. В обоих выражениях используется одно и то же число $\frac{5}{7}$ и одно и то же смешанное число $1\frac{1}{8}$. Смешанное число $1\frac{1}{8}$ больше 1. При умножении положительного числа ($\frac{5}{7}$) на число, большее 1, результат становится больше исходного числа. То есть, $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7}$. При делении положительного числа ($\frac{5}{7}$) на число, большее 1, результат становится меньше исходного числа. То есть, $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8} < \frac{5}{7}$. Следовательно, первое выражение больше второго.
Ответ: $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

в) Сравниваем выражения $\frac{20}{9}$ и $(\frac{20}{9})^2$. Дробь $\frac{20}{9}$ является неправильной, так как ее числитель (20) больше знаменателя (9). Это означает, что значение дроби больше 1. При возведении в квадрат числа, которое больше 1, результат увеличивается. Если $a > 1$, то $a^2 = a \cdot a > a \cdot 1 = a$. Поскольку $\frac{20}{9} > 1$, то $(\frac{20}{9})^2$ будет больше, чем $\frac{20}{9}$.
Ответ: $\frac{20}{9} < (\frac{20}{9})^2$.

г) Сравниваем выражения $15 : \frac{7}{8}$ и $15 : (\frac{7}{8})^2$. В обоих выражениях делимое одинаково и равно 15. Чтобы сравнить частные, нужно сравнить делители. Делители — это $\frac{7}{8}$ и $(\frac{7}{8})^2$. Дробь $\frac{7}{8}$ является правильной, так как ее числитель (7) меньше знаменателя (8). Это означает, что $0 < \frac{7}{8} < 1$. При возведении в квадрат положительного числа, которое меньше 1, результат становится еще меньше. Если $0 < a < 1$, то $a^2 = a \cdot a < a \cdot 1 = a$. Следовательно, $(\frac{7}{8})^2 < \frac{7}{8}$. При делении на меньшее положительное число результат получается больше. Так как второй делитель $(\frac{7}{8})^2$ меньше первого делителя $\frac{7}{8}$, результат второго деления будет больше.
Ответ: $15 : \frac{7}{8} < 15 : (\frac{7}{8})^2$.