Номер 38, страница 280 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

38. $\frac{\frac{3}{4} - \frac{7}{12}}{\frac{3}{5} - \frac{3}{10}} + \frac{\frac{9}{10} - \frac{7}{8}}{\frac{7}{8} - \frac{5}{6}} + \frac{2 + 2\frac{2}{5}}{\frac{3}{4} + \frac{3}{7}}$

Для решения данного выражения необходимо последовательно вычислить значение каждой из трех сложных дробей, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычислим значение первого слагаемого:

Выражение: $ \frac{\frac{3}{4} - \frac{7}{12}}{\frac{3}{5} - \frac{3}{10}} $.

Сначала выполним вычитание в числителе. Общий знаменатель для 4 и 12 равен 12.

$ \frac{3}{4} - \frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $.

Теперь выполним вычитание в знаменателе. Общий знаменатель для 5 и 10 равен 10.

$ \frac{3}{5} - \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10} - \frac{3}{10} = \frac{3}{10} $.

Разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{6} \div \frac{3}{10} = \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} $.

2. Вычислим значение второго слагаемого:

Выражение: $ \frac{\frac{9}{10} - \frac{7}{8}}{\frac{7}{8} - \frac{5}{6}} $.

Вычислим числитель. Общий знаменатель для 10 и 8 равен 40.

$ \frac{9}{10} - \frac{7}{8} = \frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{36}{40} - \frac{35}{40} = \frac{1}{40} $.

Вычислим знаменатель. Общий знаменатель для 8 и 6 равен 24.

$ \frac{7}{8} - \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{21}{24} - \frac{20}{24} = \frac{1}{24} $.

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{24}} = \frac{1}{40} \div \frac{1}{24} = \frac{1}{40} \cdot 24 = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} $.

3. Вычислим значение третьего слагаемого:

Выражение: $ \frac{2 + 2\frac{2}{5}}{\frac{3}{4} + \frac{3}{7}} $.

Вычислим числитель. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5} $.

$ 2 + \frac{12}{5} = \frac{10}{5} + \frac{12}{5} = \frac{22}{5} $.

Вычислим знаменатель. Общий знаменатель для 4 и 7 равен 28.

$ \frac{3}{4} + \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{21}{28} + \frac{12}{28} = \frac{33}{28} $.

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{22}{5}}{\frac{33}{28}} = \frac{22}{5} \div \frac{33}{28} = \frac{22}{5} \cdot \frac{28}{33} = \frac{2 \cdot 11}{5} \cdot \frac{28}{3 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 28}{5 \cdot 3} = \frac{56}{15} $.

4. Сложим полученные результаты:

Суммируем значения трех слагаемых: $ \frac{5}{9} + \frac{3}{5} + \frac{56}{15} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для 9, 5 и 15. НОК(9, 5, 15) = 45.

$ \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{56 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{25}{45} + \frac{27}{45} + \frac{168}{45} = \frac{25+27+168}{45} = \frac{52+168}{45} = \frac{220}{45} $.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{220 \div 5}{45 \div 5} = \frac{44}{9} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{44}{9} = 4\frac{8}{9} $.

Ответ: $ 4\frac{8}{9} $