Номер 42, страница 281 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

42. $$\frac{\left(\frac{23}{36} + \frac{31}{63} - \left(\frac{3}{4} + \frac{5}{21}\right)\right) \cdot \left(48 : \left(\frac{3}{5} : \frac{7}{8}\right)\right)}{\left(\frac{19}{26} + \frac{14}{39} - \frac{1}{6}\right) \cdot \left(54\frac{1}{6} : \left(8\frac{4}{7} : \frac{12}{35}\right)\right)}$$

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия по порядку. Сначала вычислим значение числителя, затем - знаменателя, и в конце найдем частное полученных результатов.

Вычисление числителя

Выражение в числителе: $ \left(\frac{23}{36}+\frac{31}{63}-\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{21}\right)\right) \cdot \left(48 : \left(\frac{3}{5} : \frac{7}{8}\right)\right) $.

1. Выполним действия в первой скобке $ \left(\frac{23}{36}+\frac{31}{63}-\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{21}\right)\right) $. Начнем с внутренних скобок:

$$ \frac{3}{4}+\frac{5}{21} = \frac{3 \cdot 21}{84} + \frac{5 \cdot 4}{84} = \frac{63+20}{84} = \frac{83}{84} $$

Теперь подставим результат в основное выражение первой скобки:

$$ \frac{23}{36}+\frac{31}{63}-\frac{83}{84} $$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(36, 63, 84) = 252.

$$ \frac{23 \cdot 7}{252}+\frac{31 \cdot 4}{252}-\frac{83 \cdot 3}{252} = \frac{161+124-249}{252} = \frac{285-249}{252} = \frac{36}{252} $$

Сократим полученную дробь: $ \frac{36}{252} = \frac{1}{7} $.

2. Выполним действия во второй скобке $ \left(48 : \left(\frac{3}{5} : \frac{7}{8}\right)\right) $. Начнем с деления во внутренних скобках:

$$ \frac{3}{5} : \frac{7}{8} = \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{35} $$

Теперь выполним внешнее деление:

$$ 48 : \frac{24}{35} = 48 \cdot \frac{35}{24} = 2 \cdot 35 = 70 $$

3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$$ \frac{1}{7} \cdot 70 = 10 $$

Таким образом, значение числителя равно 10.

Ответ: 10

Вычисление знаменателя

Выражение в знаменателе: $ \left(\frac{19}{26}+\frac{14}{39}-\frac{1}{6}\right) \cdot \left(54\frac{1}{6} : \left(8\frac{4}{7} : \frac{12}{35}\right)\right) $.

1. Выполним действия в первой скобке $ \left(\frac{19}{26}+\frac{14}{39}-\frac{1}{6}\right) $. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(26, 39, 6) = 78.

$$ \frac{19 \cdot 3}{78}+\frac{14 \cdot 2}{78}-\frac{1 \cdot 13}{78} = \frac{57+28-13}{78} = \frac{72}{78} $$

Сократим полученную дробь: $ \frac{72}{78} = \frac{12}{13} $.

2. Выполним действия во второй скобке $ \left(54\frac{1}{6} : \left(8\frac{4}{7} : \frac{12}{35}\right)\right) $. Начнем с деления во внутренних скобках. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $ 8\frac{4}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{60}{7} $.

$$ \frac{60}{7} : \frac{12}{35} = \frac{60}{7} \cdot \frac{35}{12} = \frac{60 \cdot 35}{7 \cdot 12} = 5 \cdot 5 = 25 $$

Теперь выполним внешнее деление. Переведем смешанное число $ 54\frac{1}{6} $ в неправильную дробь: $ 54\frac{1}{6} = \frac{54 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{325}{6} $.

$$ \frac{325}{6} : 25 = \frac{325}{6} \cdot \frac{1}{25} = \frac{325}{150} = \frac{13 \cdot 25}{6 \cdot 25} = \frac{13}{6} $$

3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$$ \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{6} = \frac{12 \cdot 13}{13 \cdot 6} = \frac{12}{6} = 2 $$

Таким образом, значение знаменателя равно 2.

Ответ: 2

Итоговое вычисление

Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$$ \frac{10}{2} = 5 $$

Ответ: 5