Страница 10, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.3 Разбираемся в решении. Марина хочет дополнительно заниматься танцами, робототехникой и живописью. Занятия проходят в одно и то же время: танцы — в понедельник либо среду, робототехника — в среду либо субботу, а живопись — по понедельникам либо субботам. Составьте график занятий для Марины.

Решение. Составим таблицу и отметим буквой дни проведения занятий.

Из таблицы видно два варианта посещения занятий:

понедельник — танцы, среда — робототехника, суббота — живопись;

понедельник — живопись, среда — танцы, суббота — робототехника.

Такую таблицу называют таблицей вариантов.

Понедельник - танцы,
Среда - робототехника,
Суббота - живопись

или

Понедельник - живопись,
Среда - танцы,
Суббота - робототехника.

Для решения задачи составим таблицу вариантов, в которой отметим все возможные дни для каждого занятия. Обозначим занятия первыми буквами их названий: Танцы (Т), Робототехника (Р), Живопись (Ж).

Условия задачи:

• Танцы (Т): Понедельник или Среда
• Робототехника (Р): Среда или Суббота
• Живопись (Ж): Понедельник или Суббота

Так как все занятия проходят в одно и то же время, Марина может выбрать только одно занятие в день.

Представим возможные дни в виде таблицы:

Теперь, используя эту таблицу, найдем все возможные комбинации расписания. В каждом столбце (дне недели) может быть выбрано не более одного занятия.

Вариант 1:

Предположим, Марина выбирает танцы в понедельник.

1. Понедельник занят танцами. Это значит, что на живопись в понедельник она пойти не может.
2. Следовательно, для живописи остается единственный возможный день — суббота.
3. Суббота теперь занята живописью. Это значит, что на робототехнику в субботу она пойти не может.
4. Следовательно, для робототехники остается единственный возможный день — среда.

Таким образом, мы получаем первый возможный график:

• Понедельник — Танцы
• Среда — Робототехника
• Суббота — Живопись

Вариант 2:

Теперь предположим, Марина выбирает танцы в среду.

1. Среда занята танцами. Это значит, что на робототехнику в среду она пойти не может.
2. Следовательно, для робототехники остается единственный возможный день — суббота.
3. Суббота теперь занята робототехникой. Это значит, что на живопись в субботу она пойти не может.
4. Следовательно, для живописи остается единственный возможный день — понедельник.

Таким образом, мы получаем второй возможный график:

• Понедельник — Живопись
• Среда — Танцы
• Суббота — Робототехника

Мы рассмотрели все возможные случаи и нашли два варианта графика занятий для Марины.

Ответ:
Существует два возможных варианта графика занятий:
1. Понедельник — танцы, среда — робототехника, суббота — живопись;
2. Понедельник — живопись, среда — танцы, суббота — робототехника.

1.4 Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо для каждого столбца найти недостающий элемент: слагаемое или сумму. Основное правило: Сумма = Слагаемое 1 + Слагаемое 2. Из этого правила следуют два других:

• Чтобы найти сумму, нужно сложить два слагаемых.
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Расчет для первого столбца

В этом столбце даны два слагаемых: 25 и 11. Необходимо найти их сумму.

Выполняем сложение: $25 + 11 = 36$.

Ответ: 36

Расчет для второго столбца

Здесь известна сумма (30) и второе слагаемое (11). Чтобы найти первое слагаемое, вычитаем из суммы известное слагаемое.

Выполняем вычитание: $30 - 11 = 19$.

Ответ: 19

Расчет для третьего столбца

В этом столбце известна сумма (55) и первое слагаемое (14). Находим второе слагаемое путем вычитания.

Выполняем вычитание: $55 - 14 = 41$.

Ответ: 41

Расчет для четвертого столбца

Даны оба слагаемых: 25 и 28. Находим их сумму.

Выполняем сложение: $25 + 28 = 53$.

Ответ: 53

Расчет для пятого столбца

Известна сумма (63) и первое слагаемое (15). Находим второе слагаемое.

Выполняем вычитание: $63 - 15 = 48$.

Ответ: 48

Расчет для шестого столбца

В данном столбце известно только второе слагаемое (22). Первое слагаемое и сумма неизвестны. Это значит, что для первого слагаемого можно выбрать любое число и на его основе вычислить сумму. Возьмем в качестве примера для первого слагаемого число 10.

Вычисляем сумму: $10 + 22 = 32$.

Ответ: Первое слагаемое — 10, сумма — 32. (Возможны и другие правильные ответы).

Расчет для седьмого столбца

Этот столбец полностью пуст. Мы можем выбрать любые два числа в качестве слагаемых и найти их сумму. Например, выберем слагаемые 20 и 40.

Вычисляем сумму: $20 + 40 = 60$.

Ответ: Первое слагаемое — 20, второе слагаемое — 40, сумма — 60. (Возможны и другие правильные ответы).

Итоговая заполненная таблица (в последних двух столбцах приведены примеры заполнения):

1.5 Найдите ошибки в примере и исправьте их:

а) 19 + 27 = 36;

6) 37 - 19 = 16;

в) 27 + 42 = 69;

г) 74 - 56 = 18;

д) 49 + 32 = 71;

е) 49 - 32 = 17.

а) 19 + 27 = 36 - неверно
19 + 27 = 46

б) 37 - 19 = 16 - неверно
37 - 19 = 18

в) 27 + 42 = 69 - верно

г) 74 - 56 = 18 - верно

д) 49 + 32 = 71 - неверно
49 + 32 = 81

е) 49 - 32 = 17 - верно

а) В примере $19 + 27 = 36$ допущена ошибка. Чтобы найти правильный ответ, можно сложить числа по разрядам. Сначала сложим десятки: $10 + 20 = 30$. Затем сложим единицы: $9 + 7 = 16$. Теперь сложим полученные результаты: $30 + 16 = 46$. Таким образом, правильный результат равен $46$.
Ответ: $19 + 27 = 46$.

б) В примере $37 - 19 = 16$ допущена ошибка. Для проверки выполним вычитание. Из $37$ вычесть $19$ можно, представив $19$ как $20 - 1$. Тогда $37 - (20 - 1) = 37 - 20 + 1 = 17 + 1 = 18$. Правильный результат равен $18$.
Ответ: $37 - 19 = 18$.

в) Пример $27 + 42 = 69$ решен верно. Проверим: сложим десятки $20 + 40 = 60$ и единицы $7 + 2 = 9$. Сумма равна $60 + 9 = 69$. Ошибки нет.
Ответ: $27 + 42 = 69$.

г) Пример $74 - 56 = 18$ решен верно. Проверим вычитанием в столбик: из $4$ единиц вычесть $6$ единиц нельзя, поэтому занимаем $1$ десяток у $7$ десятков. Получаем $14 - 6 = 8$ единиц. В разряде десятков осталось $6$ десятков, $6 - 5 = 1$. Результат $18$. Ошибки нет.
Ответ: $74 - 56 = 18$.

д) В примере $49 + 32 = 71$ допущена ошибка. Сложим числа по разрядам: $40 + 30 = 70$ (десятки) и $9 + 2 = 11$ (единицы). Сумма этих результатов: $70 + 11 = 81$. Правильный ответ — $81$.
Ответ: $49 + 32 = 81$.

е) Пример $49 - 32 = 17$ решен верно. Проверим вычитанием по разрядам: из $4$ десятков вычитаем $3$ десятка, получаем $1$ десяток. Из $9$ единиц вычитаем $2$ единицы, получаем $7$ единиц. Результат: $10 + 7 = 17$. Ошибки нет.
Ответ: $49 - 32 = 17$.

1.6 Вычислите:

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }42 \stackrel{6}{:} 7 · 8 = 6 · 8 = 48;$

$\mathbf{б}\mathbf{)} 72 \stackrel{9}{:} 8 · 3 = 9 · 3 = 27;$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }12 \stackrel{36}{·} 3 : 9 = 36 : 9 = 4;$

$\mathbf{г}\mathbf{)} (37 \stackrel{48}{+} 11) : 24 = 48 : 24 = 2;$

а)

В выражении $42 : 7 \cdot 8$ действия деления и умножения имеют одинаковый приоритет и выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $42 : 7 = 6$.
2) Вторым действием выполняем умножение: $6 \cdot 8 = 48$.
Ответ: 48

В выражении $60 \cdot 5 : 10$ действия умножения и деления выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем умножение: $60 \cdot 5 = 300$.
2) Вторым действием выполняем деление: $300 : 10 = 30$.
Ответ: 30

В выражении $630 : 9 \cdot 3$ действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $630 : 9 = 70$.
2) Вторым действием выполняем умножение: $70 \cdot 3 = 210$.
Ответ: 210

б)

В выражении $72 : 8 \cdot 3$ действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $72 : 8 = 9$.
2) Вторым действием выполняем умножение: $9 \cdot 3 = 27$.
Ответ: 27

В выражении $44 : 4 \cdot 2$ действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $44 : 4 = 11$.
2) Вторым действием выполняем умножение: $11 \cdot 2 = 22$.
Ответ: 22

В выражении $360 : 4 : 3$ оба действия — деление, поэтому они выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $360 : 4 = 90$.
2) Вторым действием выполняем деление: $90 : 3 = 30$.
Ответ: 30

в)

В выражении $12 \cdot 3 : 9$ действия умножения и деления выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем умножение: $12 \cdot 3 = 36$.
2) Вторым действием выполняем деление: $36 : 9 = 4$.
Ответ: 4

В выражении $46 : 2 \cdot 3$ действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $46 : 2 = 23$.
2) Вторым действием выполняем умножение: $23 \cdot 3 = 69$.
Ответ: 69

В выражении $280 : 4 : 7$ оба действия — деление, поэтому они выполняются по порядку слева направо:
1) Первым действием выполняем деление: $280 : 4 = 70$.
2) Вторым действием выполняем деление: $70 : 7 = 10$.
Ответ: 10

г)

В выражении $(37 + 11) : 24$ первым действием выполняется операция в скобках:
1) $37 + 11 = 48$.
2) Затем выполняется деление: $48 : 24 = 2$.
Ответ: 2

В выражении $(53 - 39) \cdot 6$ первым действием выполняется операция в скобках:
1) $53 - 39 = 14$.
2) Затем выполняется умножение: $14 \cdot 6 = 84$.
Ответ: 84

В выражении $49 : (71 - 64)$ первым действием выполняется операция в скобках:
1) $71 - 64 = 7$.
2) Затем выполняется деление: $49 : 7 = 7$.
Ответ: 7

1.7 Заполните таблицу.

2 · 15 = 30 (км) - расстояние велосипедиста;

350 : 5 = 70 (км/ч) - скорость автомобиля;

1200 : 600 = 2 (ч) - время самолёта.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой, связывающей расстояние, скорость и время: $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время. Из этой формулы можно выразить скорость $v = S / t$ и время $t = S / v$.

Велосипед

В этой строке необходимо найти расстояние. Известны время $t = 2$ ч и скорость $v = 15$ км/ч. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния:

$S = v \cdot t$

$S = 15 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 30 \text{ км}$

Ответ: 30 км.

Автомобиль

Здесь нужно найти скорость. Известны время $t = 5$ ч и расстояние $S = 350$ км. Применим формулу для нахождения скорости:

$v = S / t$

$v = 350 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 70 \text{ км/ч}$

Ответ: 70 км/ч.

Самолёт

В последней строке требуется найти время. Известны скорость $v = 600$ км/ч и расстояние $S = 1200$ км. Используем формулу для нахождения времени:

$t = S / v$

$t = 1200 \text{ км} / 600 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: 2 ч.

1.8 Начните составлять частотную таблицу погоды за первую половину сентября, в которой отмечайте солнечные, пасмурные, дождливые, холодные (ниже 10 °C) и тёплые (выше 10 °C) дни. В конце исследования выясните:

а) каких дней было больше всего;

б) каких дней было больше: солнечных или пасмурных;

в) сколько было холодных дней;

г) все ли дождливые дни были холодными;

д) все ли солнечные дни были теплыми.

а) больше всего было тёплых дней;

б) солнечных дней больше, чем пасмурных;

в) холодным был только 1 день;

г) нет;

д) да.

Данное задание является практическим и предполагает сбор реальных данных о погоде. Так как мы не можем провести такие наблюдения, мы смоделируем реалистичный сценарий погоды для первой половины сентября (15 дней) и на его основе выполним все пункты задания.

Этап 1: Создание таблицы наблюдений

Представим, что мы вели дневник погоды с 1 по 15 сентября. Для каждого дня мы записывали основную характеристику (солнечно, пасмурно или дождливо) и среднесуточную температуру. На основе температуры мы классифицировали день как «тёплый» (температура выше $10^\circ C$) или «холодный» (температура ниже $10^\circ C$).

Таблица 1: Дневник наблюдений за погодой (1-15 сентября)

Этап 2: Составление частотной таблицы

Используя данные из Таблицы 1, подсчитаем количество дней каждого типа и составим итоговую частотную таблицу.

• Солнечные дни: 1, 2, 6, 11, 14 сентября – всего 5 дней.
• Пасмурные дни: 3, 5, 7, 9, 12, 13 сентября – всего 6 дней.
• Дождливые дни: 4, 8, 10, 15 сентября – всего 4 дня.
• Холодные дни ($T < 10^\circ C$): 9, 10, 12, 13, 15 сентября – всего 5 дней.
• Тёплые дни ($T > 10^\circ C$): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 14 сентября – всего 10 дней.

Таблица 2: Частотная таблица погоды

Этап 3: Ответы на вопросы исследования

а) каких дней было больше всего;

Сравнивая частоты в Таблице 2 (5, 6, 4, 5, 10), мы видим, что наибольшая частота – 10, что соответствует тёплым дням.
Ответ: Больше всего было тёплых дней.

б) каких дней было больше: солнечных или пасмурных;

Из Таблицы 2 видно, что солнечных дней было 5, а пасмурных – 6. Так как $6 > 5$, пасмурных дней было больше, чем солнечных.
Ответ: Пасмурных дней было больше.

в) сколько было холодных дней;

Согласно Таблице 2, количество холодных дней, то есть дней с температурой ниже $10^\circ C$, равно 5.
Ответ: Было 5 холодных дней.

г) все ли дождливые дни были холодными;

Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим на все дождливые дни в Таблице 1:
– 4 сентября: дождливо, $14^\circ C$ (тёплый).
– 8 сентября: дождливо, $11^\circ C$ (тёплый).
– 10 сентября: дождливо, $8^\circ C$ (холодный).
– 15 сентября: дождливо, $8^\circ C$ (холодный).
Как мы видим, не все дождливые дни были холодными; два из них были тёплыми.
Ответ: Нет, не все дождливые дни были холодными.

д) все ли солнечные дни были тёплыми.

Проверим все солнечные дни по Таблице 1:
– 1 сентября: солнечно, $20^\circ C$ (тёплый).
– 2 сентября: солнечно, $18^\circ C$ (тёплый).
– 6 сентября: солнечно, $17^\circ C$ (тёплый).
– 11 сентября: солнечно, $13^\circ C$ (тёплый).
– 14 сентября: солнечно, $15^\circ C$ (тёплый).
Все солнечные дни в нашем наблюдении имели температуру выше $10^\circ C$.
Ответ: Да, все солнечные дни были тёплыми.

5.24 На уроке технологии мальчики выпиливали из фанеры разделочные доски. Сначала они с помощью компьютера рисовали по клеткам шаблон доски, например, такой, как показано на рисунке 5.10.

а) Какую площадь имеет этот шаблон, если площадь клетки составляет 1 ед²?

б) Какие наибольшие размеры в сантиметрах может иметь одна ячейка, чтобы разделочную доску можно было выпилить из фанеры прямоугольной формы длиной 50 см и шириной 24 см?

в) Какую площадь будет иметь разделочная доска, если размер клетки будет 6x6 см?

а) Чтобы найти площадь шаблона в квадратных единицах, нужно подсчитать количество клеток, которые он занимает. Фигура состоит из целых клеток и их частей.
1. Количество полностью целых клеток внутри контура равно 16.
2. Части клеток, через которые проходит граница, при визуальной оценке и комбинировании в сумме дают 6 целых клеток (1 клетка на верхушке ручки, 3 клетки на «плечиках» и 2 клетки в основании).
3. Общая площадь шаблона равна сумме площадей полных и неполных клеток: $S = 16 + 6 = 22$ ед?.
Ответ: 22 ед?.

б) Пусть сторона одной квадратной ячейки равна $x$ см. Из рисунка видно, что габаритные размеры шаблона составляют 8 ячеек в высоту и 4 ячейки в ширину. Таким образом, размеры разделочной доски будут $8x$ см на $4x$ см.
Доску нужно выпилить из прямоугольного листа фанеры размером 50 см на 24 см. Рассмотрим два возможных варианта расположения шаблона на листе фанеры:
1. Высота доски ($8x$) располагается вдоль длины фанеры (50 см), а ширина доски ($4x$) — вдоль ширины фанеры (24 см). В этом случае должны выполняться неравенства:
$8x \le 50 \implies x \le \frac{50}{8} \implies x \le 6.25$ см
$4x \le 24 \implies x \le \frac{24}{4} \implies x \le 6$ см
Чтобы оба условия выполнялись, нужно выбрать меньшее из максимальных значений: $x \le 6$ см.
2. Высота доски ($8x$) располагается вдоль ширины фанеры (24 см), а ширина доски ($4x$) — вдоль длины фанеры (50 см). В этом случае должны выполняться неравенства:
$8x \le 24 \implies x \le \frac{24}{8} \implies x \le 3$ см
$4x \le 50 \implies x \le \frac{50}{4} \implies x \le 12.5$ см
Чтобы оба условия выполнялись, нужно выбрать меньшее из максимальных значений: $x \le 3$ см.
Мы ищем наибольшие возможные размеры ячейки, поэтому сравниваем максимальные значения $x$ из двух вариантов (6 см и 3 см). Наибольшее возможное значение $x = 6$ см. Значит, ячейка может иметь размеры 6?6 см.
Ответ: 6?6 см.

в) Из пункта а) мы знаем, что площадь шаблона составляет 22 квадратные единицы (22 клетки).
Размер одной клетки задан: 6?6 см. Найдем площадь одной клетки:
$S_{клетки} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36$ см?.
Чтобы найти общую площадь разделочной доски, нужно умножить площадь шаблона в клетках на площадь одной клетки:
$S_{доски} = 22 \times S_{клетки} = 22 \times 36 = 792$ см?.
Ответ: 792 см?.

5.25 Масса банки с мёдом равна 1 кг 500 г. При этом мёд тяжелее пустой банки в 4 раза. Чему равна масса мёда?

Для начала переведем общую массу банки с мёдом в единую единицу измерения — граммы. Поскольку в 1 килограмме 1000 граммов, то:

$1 \text{ кг } 500 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1500 \text{ г}$.

Примем массу пустой банки за одну часть. По условию задачи, масса мёда в 4 раза больше, следовательно, она составляет 4 такие же части.

Общая масса банки с мёдом состоит из массы банки и массы мёда. Таким образом, общая масса составляет:

$1 \text{ часть (банка)} + 4 \text{ части (мёд)} = 5 \text{ частей}$.

Мы знаем, что общая масса равна 1500 г. Значит, на 5 частей приходится 1500 г. Найдем, сколько граммов составляет одна часть (масса пустой банки):

$1500 \text{ г} \div 5 = 300 \text{ г}$.

Итак, масса пустой банки равна 300 г.

Масса мёда составляет 4 части. Чтобы найти массу мёда, нужно массу одной части умножить на 4:

$300 \text{ г} \times 4 = 1200 \text{ г}$.

Массу мёда можно также выразить в килограммах и граммах:

$1200 \text{ г} = 1 \text{ кг } 200 \text{ г}$.

Проверка:

Масса банки (300 г) + масса мёда (1200 г) = 1500 г, что соответствует 1 кг 500 г. Масса мёда (1200 г) в 4 раза больше массы банки (300 г), так как $1200 \div 300 = 4$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: масса мёда равна 1200 г (или 1 кг 200 г).

5.26 1) В пруду плавали утки. К ним прилетели 13 уток, а 16 уток улетели, и в пруду оказалось 19 уток. Сколько уток плавало в пруду?

2) В библиотеке с книжной полки взяли 16 книг, а поставили на неё 29. На полке стало 60 книг. Сколько книг было на полке первоначально?

Для решения этой задачи можно составить уравнение, где неизвестное $x$ — это первоначальное количество уток в пруду. Сначала к уткам прилетели еще 13, их количество стало $x + 13$. Затем 16 уток улетели, и их стало $(x + 13) - 16$. В итоге в пруду оказалось 19 уток. Составим и решим уравнение:

$x + 13 - 16 = 19$

Сначала выполним вычитание в левой части уравнения:

$x - 3 = 19$

Чтобы найти $x$ (уменьшаемое), нужно к разности (19) прибавить вычитаемое (3):

$x = 19 + 3$

$x = 22$

Другой способ — рассуждать в обратном порядке. В конце было 19 уток. До того, как 16 уток улетели, их было $19 + 16 = 35$. А до того, как 13 уток прилетели, их было $35 - 13 = 22$.

Ответ: 22 утки.

Для решения этой задачи также составим уравнение. Пусть $y$ — это первоначальное количество книг на полке. С полки взяли 16 книг, их стало $y - 16$. Затем на полку поставили 29 книг, и их количество стало $(y - 16) + 29$. В итоге на полке оказалось 60 книг. Составим и решим уравнение:

$y - 16 + 29 = 60$

Упростим левую часть уравнения:

$y + 13 = 60$

Чтобы найти $y$ (первое слагаемое), нужно из суммы (60) вычесть второе слагаемое (13):

$y = 60 - 13$

$y = 47$

Можно также рассуждать в обратном порядке. В конце было 60 книг. До того, как на полку поставили 29 книг, их было $60 - 29 = 31$. А до того, как с полки взяли 16 книг, их было $31 + 16 = 47$.

Ответ: 47 книг.

5.27 Вычислите:

1) 229 372 : 286 • 506;

2) 282 370 : 302 : 85;

3) 195 840 : (32 • 18);

4) 538 • (301 608 : 426).

1) $229 372 : 286 \cdot 506$

В данном выражении действия выполняются по порядку слева направо, так как умножение и деление имеют одинаковый приоритет.

1. Первое действие: $229 372 : 286$.
При делении столбиком сначала делим $2293$ на $286$. Получаем $8$. ($8 \cdot 286 = 2288$). Остаток: $2293 - 2288 = 5$.
Сносим следующую цифру $7$, получаем $57$. $57$ меньше $286$, поэтому в частном пишем $0$.
Сносим следующую цифру $2$, получаем $572$. Делим $572$ на $286$, получаем $2$. ($2 \cdot 286 = 572$). Остаток: $572 - 572 = 0$.
Итого: $229 372 : 286 = 802$.

2. Второе действие: $802 \cdot 506$.
$802 \cdot 506 = 405 812$.

Ответ: $405 812$.

2) $282 370 : 302 : 85$

В данном выражении действия деления выполняются по порядку слева направо.

1. Первое действие: $282 370 : 302$.
Делим $2823$ на $302$. Получаем $9$. ($9 \cdot 302 = 2718$). Остаток: $2823 - 2718 = 105$.
Сносим $7$, получаем $1057$. Делим $1057$ на $302$. Получаем $3$. ($3 \cdot 302 = 906$). Остаток: $1057 - 906 = 151$.
Сносим $0$, получаем $1510$. Делим $1510$ на $302$. Получаем $5$. ($5 \cdot 302 = 1510$). Остаток: $0$.
Итого: $282 370 : 302 = 935$.

2. Второе действие: $935 : 85$.
Делим $93$ на $85$. Получаем $1$. ($1 \cdot 85 = 85$). Остаток: $93 - 85 = 8$.
Сносим $5$, получаем $85$. Делим $85$ на $85$. Получаем $1$. ($1 \cdot 85 = 85$). Остаток: $0$.
Итого: $935 : 85 = 11$.

Ответ: $11$.

3) $195 840 : (32 \cdot 18)$

Согласно порядку действий, сначала выполняем операцию в скобках, а затем деление.

1. Первое действие (в скобках): $32 \cdot 18$.
$32 \cdot 18 = 576$.

2. Второе действие: $195 840 : 576$.
Делим $1958$ на $576$. Получаем $3$. ($3 \cdot 576 = 1728$). Остаток: $1958 - 1728 = 230$.
Сносим $4$, получаем $2304$. Делим $2304$ на $576$. Получаем $4$. ($4 \cdot 576 = 2304$). Остаток: $0$.
Сносим $0$, получаем $0$. Делим $0$ на $576$. Получаем $0$.
Итого: $195 840 : 576 = 340$.

Ответ: $340$.

4) $538 \cdot (301 608 : 426)$

Согласно порядку действий, сначала выполняем операцию в скобках, а затем умножение.

1. Первое действие (в скобках): $301 608 : 426$.
Делим $3016$ на $426$. Получаем $7$. ($7 \cdot 426 = 2982$). Остаток: $3016 - 2982 = 34$.
Сносим $0$, получаем $340$. $340$ меньше $426$, поэтому в частном пишем $0$.
Сносим $8$, получаем $3408$. Делим $3408$ на $426$. Получаем $8$. ($8 \cdot 426 = 3408$). Остаток: $0$.
Итого: $301 608 : 426 = 708$.

2. Второе действие: $538 \cdot 708$.
$538 \cdot 708 = 380 904$.

Ответ: $380 904$.

5.28 В чём достоинства и недостатки солнечных часов? Что общего у них с современными часами?

В чём достоинства и недостатки солнечных часов?

Достоинства:

• Простота и надёжность: в их конструкции отсутствуют сложные движущиеся механизмы, которые могут износиться или сломаться. Их работа основана на самом надёжном процессе — вращении Земли.
• Долговечность: солнечные часы, как правило, изготавливаются из прочных и устойчивых к погодным условиям материалов, таких как камень или металл, что обеспечивает им срок службы в столетия и даже тысячелетия.
• Полная автономность: для работы им не требуется никаких источников энергии, кроме солнечного света. Они не нуждаются в подзаводке, электричестве или замене батареек.

Недостатки:

• Зависимость от солнечного света: они абсолютно бесполезны в тёмное время суток, в пасмурную или дождливую погоду, а также в закрытых помещениях.
• Низкая точность: по сравнению с современными часами, их точность невелика. Она ограничена размером часов, чёткостью отбрасываемой тени и обычно составляет от нескольких минут до получаса.
• Стационарность и сложность установки: большинство солнечных часов — это неподвижные сооружения. Для правильной работы их необходимо точно сориентировать по сторонам света и спроектировать под конкретную географическую широту.
• Расхождение с гражданским временем: солнечные часы показывают истинное солнечное время, которое не совпадает с общепринятым поясным временем. Разница может достигать 16 минут (это описывается так называемым уравнением времени). Кроме того, они не учитывают деление на часовые пояса и переход на летнее время.

Ответ: Ключевые достоинства солнечных часов — их простота, надёжность, долговечность и полная энергонезависимость. Основные недостатки — зависимость от солнечного света, низкая точность, стационарность и расхождение показываемого времени с официальным гражданским временем.

Что общего у них с современными часами?

• Основное предназначение: и солнечные, и современные часы являются приборами, созданными для одной и той же цели — измерения и отображения промежутков времени.
• Использование периодического процесса: в основе работы любых часов лежит стабильный, регулярно повторяющийся процесс. Для солнечных часов таким процессом является видимое суточное движение Солнца по небу, обусловленное вращением Земли вокруг своей оси. Для современных механических, кварцевых или атомных часов — это, соответственно, колебания маятника/баланса, кристалла кварца или электромагнитные колебания атомов.
• Наличие шкалы и указателя: оба типа часов используют для отображения времени шкалу (циферблат) с делениями и указатель. У солнечных часов указателем служит тень от неподвижного стержня (гномона), а у современных аналоговых часов — движущиеся стрелки.
• Единицы измерения: и те, и другие используют исторически сложившуюся систему деления суток на 24 часа, а часа — на 60 минут, что является их общим наследием.

Ответ: Общими чертами солнечных и современных часов являются их основное назначение (измерение времени), использование стабильного периодического процесса в качестве основы работы, наличие циферблата с указателем для индикации времени и применение общих единиц измерения (часы, минуты).

5.29 Проведите окружность с центром О и радиусом 3 см. Отметьте точки:

а) M и N, лежащие на окружности;

б) P и Q, лежащие в круге;

в) B и K, лежащие вне круга.

Какие из отмеченных точек лежат вне окружности? Какие из отмеченных точек лежат в круге?

Для решения этой задачи необходимо понимать определения окружности и круга, а также как расположение точки связано с ее расстоянием до центра.

Окружность — это линия, состоящая из всех точек на плоскости, которые находятся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра).

Круг — это часть плоскости, которая включает в себя окружность и все точки внутри нее. То есть, точка принадлежит кругу, если расстояние от нее до центра меньше или равно радиусу.

В нашей задаче дан круг с центром O и радиусом $r = 3$ см. Проанализируем расположение каждой группы точек.

а) M и N, лежащие на окружности;
Если точки лежат на окружности, расстояние от них до центра O в точности равно радиусу. Математически это записывается так:
$OM = 3$ см и $ON = 3$ см.

б) P и Q, лежащие в круге;
Если точки лежат в круге, расстояние от них до центра O меньше или равно радиусу. По условию, эти точки нужно отметить отдельно от тех, что лежат на окружности, поэтому мы размещаем их строго внутри круга. Это означает, что расстояние до центра для них строго меньше радиуса:
$OP < 3$ см и $OQ < 3$ см.

в) R и K, лежащие вне круга.
Если точки лежат вне круга, расстояние от них до центра O больше радиуса:
$OR > 3$ см и $OK > 3$ см.

Теперь ответим на поставленные в задаче вопросы.

Какие из отмеченных точек лежат вне окружности?
Вне окружности (что в данном контексте означает и вне круга) находятся точки, расстояние от которых до центра O больше радиуса. Согласно пункту (в), это точки R и K.
Ответ: Точки R и K лежат вне окружности.

Какие из отмеченных точек лежат в круге?
В круге лежат все точки, расстояние от которых до центра O меньше или равно радиусу ($d \le r$).
- Точки M и N лежат на окружности, их расстояние до центра равно радиусу ($OM = 3$ см, $ON = 3$ см), следовательно, они принадлежат кругу.
- Точки P и Q лежат внутри круга, их расстояние до центра меньше радиуса ($OP < 3$ см, $OQ < 3$ см), следовательно, они также принадлежат кругу.
Таким образом, все точки из пунктов (а) и (б) лежат в круге.
Ответ: Точки M, N, P и Q лежат в круге.

5.30 Отметьте точки С и D на расстоянии 4 см друг от друга. Используя циркуль, постройте ещё три точки М, N и К, находящиеся от точки С на расстоянии 4 см.

Для выполнения этого задания необходимо произвести следующие геометрические построения с помощью линейки и циркуля.

Сначала отметим точки C и D на расстоянии 4 см друг от друга. Для этого поставим на листе бумаги точку C. Затем, используя линейку, отложим от точки C расстояние в 4 см и в конце этого отрезка поставим точку D. Таким образом, мы получим отрезок $CD$, длина которого равна 4 см.

Далее, нам нужно построить еще три точки — M, N и K — каждая из которых находится на расстоянии 4 см от точки C. Это означает, что должны выполняться условия: $CM = 4$ см, $CN = 4$ см и $CK = 4$ см.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от одной данной точки, является окружность. В нашем случае центром этой окружности будет точка C, а её радиус будет равен заданному расстоянию, то есть $R = 4$ см.

Для построения воспользуемся циркулем. С помощью линейки установим его раствор (расстояние между ножкой с иглой и ножкой с грифелем) равным 4 см. После этого поместим иглу циркуля в точку C и начертим окружность.

Все точки, лежащие на этой окружности, находятся на расстоянии 4 см от её центра C. Стоит заметить, что точка D, построенная на первом шаге, также лежит на этой окружности, поскольку расстояние $CD$ равно 4 см. Чтобы найти требуемые точки M, N и K, достаточно выбрать на построенной окружности три любые произвольные точки (отличные от точки D) и обозначить их соответствующими буквами.

Ответ: Искомые точки M, N и K лежат на окружности с центром в точке C и радиусом $R = 4$ см. Для их построения необходимо начертить указанную окружность с помощью циркуля и выбрать на ней три любые точки.

5.31 Отметьте точки В и А, находящиеся на расстоянии 9 см друг от друга. Проведите две окружности: радиусом 4 см с центром F и радиусом 7 см с центром А. Пересекаются ли эти окружности?

Для решения этой задачи не обязательно выполнять построение. Достаточно проанализировать соотношение между расстоянием между центрами окружностей и их радиусами.

Пусть $d$ — это расстояние между центрами окружностей (между точками F и A), $r_1$ — радиус первой окружности (с центром в точке F), а $r_2$ — радиус второй окружности (с центром в точке A).

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Расстояние между центрами: $d = 9$ см.
Радиус первой окружности: $r_1 = 4$ см.
Радиус второй окружности: $r_2 = 7$ см.

Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами ($d$) одновременно больше или равно модулю разности их радиусов ($|r_1 - r_2|$) и меньше или равно сумме их радиусов ($r_1 + r_2$). Это условие можно записать в виде двойного неравенства:
$|r_1 - r_2| \le d \le r_1 + r_2$

Проверим, выполняется ли это условие для заданных значений.
1. Вычислим сумму радиусов:
$r_1 + r_2 = 4 + 7 = 11$ см.
2. Вычислим модуль разности радиусов:
$|r_1 - r_2| = |4 - 7| = |-3| = 3$ см.

Теперь подставим полученные значения и значение $d$ в неравенство:
$3 \le 9 \le 11$

Полученное неравенство верно, так как 9 действительно находится в промежутке между 3 и 11. Это означает, что окружности пересекаются. Поскольку расстояние между центрами ($9$ см) строго больше модуля разности радиусов ($3$ см) и строго меньше их суммы ($11$ см), окружности будут иметь две общие точки пересечения.

Ответ: да, эти окружности пересекаются.

5.32 Отметьте точки М и К так, чтобы МК = 9 см. Проведите две окружности: радиусом 4 см с центром М и радиусом 3 см с центром К. Пересекаются ли эти окружности?

Чтобы определить, пересекаются ли две окружности, нужно сравнить расстояние между их центрами с суммой и разностью их радиусов.

Пусть $d$ — это расстояние между центрами окружностей, $R$ — радиус первой окружности, и $r$ — радиус второй окружности.

Согласно условию задачи, у нас есть:

• Расстояние между центрами (точками M и K): $d = MK = 9$ см.
• Радиус окружности с центром в точке M: $R = 4$ см.
• Радиус окружности с центром в точке K: $r = 3$ см.

Существуют следующие возможные случаи взаимного расположения двух окружностей:
1. Окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности: $|R - r| < d < R + r$.
2. Окружности касаются (имеют одну общую точку), если расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешнее касание: $d = R + r$) или разности радиусов (внутреннее касание: $d = |R - r|$).
3. Окружности не пересекаются, если расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R + r$) или меньше разности их радиусов ($d < |R - r|$).

Давайте проверим эти условия для наших окружностей. Сначала найдем сумму их радиусов:
$R + r = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Теперь сравним расстояние между центрами $d = 9$ см с этой суммой:
$9 \text{ см} > 7 \text{ см}$.

Так как расстояние между центрами окружностей $d$ больше, чем сумма их радиусов $R + r$, мы имеем случай $d > R + r$. Это означает, что окружности расположены одна вне другой и не имеют общих точек.

Ответ: Нет, эти окружности не пересекаются.