Номер 3.119, страница 104 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. 3.7. Умножение целых чисел - номер 3.119, страница 104.

Условие.

3.119. Произведение двух чисел равно нулю. Докажите, что среди этих чисел есть хотя бы один нуль.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Это одно из фундаментальных свойств нуля в арифметике. Для доказательства этого утверждения можно использовать метод от противного.

Пусть даны два числа, $a$ и $b$, произведение которых равно нулю:

$a \cdot b = 0$

Нам необходимо доказать, что по крайней мере одно из этих чисел равно нулю (то есть, $a = 0$ или $b = 0$).

Доказательство от противного:

Предположим, что утверждение неверно. Это означает, что оба числа, $a$ и $b$, не равны нулю:

$a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Если число $a$ не равно нулю ($a \neq 0$), то для него существует обратное число $1/a$, такое, что произведение $a$ на $1/a$ равно 1:

$a \cdot \frac{1}{a} = 1$

Теперь возьмем наше исходное уравнение $a \cdot b = 0$. Так как мы предположили, что $a \neq 0$, мы можем умножить обе части этого уравнения на $1/a$:

$\frac{1}{a} \cdot (a \cdot b) = \frac{1}{a} \cdot 0$

Используя сочетательный закон умножения в левой части, получим:

$(\frac{1}{a} \cdot a) \cdot b = \frac{1}{a} \cdot 0$

Мы знаем, что $(\frac{1}{a} \cdot a) = 1$, а произведение любого числа на ноль равно нулю, то есть $\frac{1}{a} \cdot 0 = 0$. Подставим эти значения в уравнение:

$1 \cdot b = 0$

Отсюда следует, что $b = 0$.

Но этот результат ($b = 0$) прямо противоречит нашему первоначальному предположению, что $b \neq 0$.

Поскольку наше предположение (что оба числа не равны нулю) привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, истинным является исходное утверждение: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть равно нулю.

Ответ: Утверждение доказано. Если произведение двух чисел равно нулю, то как минимум один из сомножителей равен нулю.