Номер 81, страница 23, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 1. Понятие переменной величины. Выражения с переменными - номер 81, страница 23.

Условие 2023.

Л 81

Определи вид высказываний и установи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

2) Знаменатель неправильной дроби всегда является простым числом.

3) Квадрат числа может быть меньше самого числа.

4) Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную.

5) Куб числа всегда больше самого числа.

6) 1 % числа составляет $\frac{0}{100}$ долю этого числа.

7) Есть числа, 125 % которых меньше их самих.

8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю.

9) Все числа, кратные 3, кратны и 9.

10) Существует дробь, удовлетворяющая неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

Решение 2 (2023).

1) Это общее высказывание, так как используется слово «любая». Высказывание является истинным. Любая правильная дробь (если рассматривать положительные числа) меньше 1, так как ее числитель меньше знаменателя. Любая неправильная дробь больше или равна 1, так как ее числитель больше или равен знаменателю. Следовательно, любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной.
Ответ: общее высказывание, истинное.

2) Это общее высказывание, так как используется слово «всегда». Высказывание является ложным. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример. Например, дробь $\frac{7}{4}$ — неправильная, но ее знаменатель 4 не является простым числом ($4=2 \times 2$). Отрицание: «Существует неправильная дробь, знаменатель которой не является простым числом».
Ответ: общее высказывание, ложное.

3) Это высказывание о существовании, так как используется оборот «может быть». Высказывание является истинным. Оно утверждает, что существует хотя бы одно число, квадрат которого меньше его самого. Таким свойством обладают все числа в интервале от 0 до 1. Например, возьмем число $0.5$. Его квадрат равен $0.5^2 = 0.25$, и $0.25 < 0.5$.
Ответ: высказывание о существовании, истинное.

4) Это общее высказывание, так как используется оборот «ни одну». Высказывание является ложным. Дробь можно перевести в конечную десятичную, если после ее сокращения знаменатель не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Рассмотрим дробь со знаменателем 6, например, $\frac{3}{6}$. Эту дробь можно сократить до $\frac{1}{2}$, которая равна $0.5$. Таким образом, мы нашли дробь со знаменателем 6, которую можно перевести в десятичную. Отрицание: «Существует дробь со знаменателем 6, которую можно перевести в десятичную».
Ответ: общее высказывание, ложное.

5) Это общее высказывание, так как используется слово «всегда». Высказывание является ложным. Оно неверно для чисел из интервала $(-\infty, -1]$, а также для чисел из интервала $[0, 1]$. Например, для $x=1$, $1^3=1$, что не больше 1. Для $x=0.5$, $0.5^3=0.125$, что меньше 0.5. Для $x=-2$, $(-2)^3=-8$, что меньше -2. Отрицание: «Существует число, куб которого не больше самого числа».
Ответ: общее высказывание, ложное.

6) Это общее высказывание (определение). Высказывание ложно. По определению, 1% — это одна сотая часть числа, то есть $\frac{1}{100}$ доля. В утверждении же говорится про $\frac{0}{100}$, что равно 0. Отрицание: «1% числа не составляет $\frac{0}{100}$ долю этого числа».
Ответ: общее высказывание, ложное.

7) Это высказывание о существовании, так как используется слово «есть». Высказывание истинно. Нам нужно найти число $x$, для которого $1.25x < x$. Это неравенство верно для всех отрицательных чисел. Например, возьмем $x=-4$. Тогда $125\%$ от $-4$ равны $1.25 \times (-4) = -5$. Неравенство $-5 < -4$ является верным.
Ответ: высказывание о существовании, истинное.

8) Это высказывание о существовании, так как используется оборот «может быть». Высказывание является ложным. По определению деления с остатком, остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b$ всегда должен быть строго меньше делителя $b$ ($0 \le r < b$). Отрицание: «При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя».
Ответ: высказывание о существовании, ложное.

9) Это общее высказывание, так как используется слово «все». Высказывание является ложным. Если число делится на 3, это не означает, что оно делится и на 9. Например, число 15 кратно 3 ($15 = 3 \times 5$), но не кратно 9. Отрицание: «Существует число, кратное 3, которое не кратно 9».
Ответ: общее высказывание, ложное.

10) Это высказывание о существовании, так как используется слово «существует». Высказывание истинно. Между любыми двумя различными рациональными числами всегда существует другое рациональное число. Чтобы найти дробь между $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю, например 12: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$. Между ними находится, например, дробь $\frac{5}{12}$.
Ответ: высказывание о существовании, истинное.

Условие 2010-2022.

Л 81 Определи вид высказываний и установи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

2) Знаменатель неправильной дроби всегда является простым числом.

3) Квадрат числа может быть меньше самого числа.

4) Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную.

5) Куб числа всегда больше самого числа.

6) 1% числа составляет $\frac{1}{100}$ долю этого числа.

7) Есть числа, 125% которых меньше их самих.

8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю.

9) Все числа, кратные 3, кратны и 9.

10) Существует дробь, удовлетворяющая неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).