Номер 311, страница 74, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Положительные и отрицательные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 311, страница 74.

Условие 2023.

311 Начерти координатную прямую и отметь на ней точки. Что ты замечаешь?

1) A (-9), B (-8), C (-5), D (-4), E (-1), F (0), G (3), H (4) (единичный отрезок – 2 клетки);

2) A ($2\frac{3}{4}$), B (1,5), C (0,25), D (-1), E ($-2\frac{1}{4}$), F (-3,5) (единичный отрезок – 4 клетки);

3) A (1,4), B (0,8), C (0,2), D (-0,4), E (-1), F (-1,6) (единичный отрезок – 10 клеток);

4) A ($-2\frac{1}{2}$), B ($-1\frac{1}{3}$), C ($-\frac{5}{6}$), D ($\frac{5}{6}$), E ($1\frac{1}{3}$), F (2,5) (единичный отрезок – 3 клетки).

Решение 2 (2023).

1)

Для решения задачи начертим координатную прямую. Выберем на ней начало отсчета — точку $F(0)$, положительное направление (вправо) и единичный отрезок, равный 2 клеткам. Положение каждой точки на прямой определяется ее координатой: положительные числа откладываются вправо от нуля, отрицательные — влево. Расстояние от нуля в клетках равно модулю координаты, умноженному на 2.

Отметим заданные точки:
$A(-9)$: расположена в $9 \times 2 = 18$ клетках слева от $F(0)$.
$B(-8)$: расположена в $8 \times 2 = 16$ клетках слева от $F(0)$.
$C(-5)$: расположена в $5 \times 2 = 10$ клетках слева от $F(0)$.
$D(-4)$: расположена в $4 \times 2 = 8$ клетках слева от $F(0)$.
$E(-1)$: расположена в $1 \times 2 = 2$ клетках слева от $F(0)$.
$F(0)$: расположена в начале отсчета.
$G(3)$: расположена в $3 \times 2 = 6$ клетках справа от $F(0)$.
$H(4)$: расположена в $4 \times 2 = 8$ клетках справа от $F(0)$.

Расположив точки на прямой, можно заметить, что точки $D(-4)$ и $H(4)$ находятся на одинаковом расстоянии ($8$ клеток) от начала отсчета, но в противоположных направлениях. Их координаты, $-4$ и $4$, являются противоположными числами. Такие точки называются симметричными относительно начала координат.

Ответ: Точки $D$ и $H$ симметричны относительно начала координат (точки $F$).

2)

Начертим координатную прямую, приняв за единичный отрезок 4 клетки. Для удобства размещения точек на прямой представим их координаты в виде десятичных дробей: $A(2\frac{3}{4}) = A(2,75)$ и $E(-2\frac{1}{4}) = E(-2,25)$.

Найдем положение каждой точки в клетках от начала отсчета (0):
$A(2,75)$: $2,75 \times 4 = 11$ клеток вправо.
$B(1,5)$: $1,5 \times 4 = 6$ клеток вправо.
$C(0,25)$: $0,25 \times 4 = 1$ клетка вправо.
$D(-1)$: $1 \times 4 = 4$ клетки влево.
$E(-2,25)$: $2,25 \times 4 = 9$ клеток влево.
$F(-3,5)$: $3,5 \times 4 = 14$ клеток влево.

Отметив точки, можно заметить, что они образуют три пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно некоторой точки. Центр симметрии для каждой пары можно найти как среднее арифметическое их координат. Например, для пары $A$ и $F$: $\frac{2,75 + (-3,5)}{2} = \frac{-0,75}{2} = -0,375$. Проверка для других пар дает тот же результат: $\frac{1,5 + (-2,25)}{2} = -0,375$ и $\frac{0,25 + (-1)}{2} = -0,375$.

Ответ: Точки образуют пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно точки с координатой $-0,375$.

3)

Начертим координатную прямую с единичным отрезком в 10 клеток. Координаты всех точек даны в виде десятичных дробей.

Найдем положение каждой точки в клетках от начала отсчета (0):
$A(1,4)$: $1,4 \times 10 = 14$ клеток вправо.
$B(0,8)$: $0,8 \times 10 = 8$ клеток вправо.
$C(0,2)$: $0,2 \times 10 = 2$ клетки вправо.
$D(-0,4)$: $0,4 \times 10 = 4$ клетки влево.
$E(-1)$: $1 \times 10 = 10$ клеток влево.
$F(-1,6)$: $1,6 \times 10 = 16$ клеток влево.

Можно заметить, что точки образуют симметричные пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$). Найдем их общий центр симметрии как среднее арифметическое координат, например, для крайних точек $A$ и $F$: $\frac{1,4 + (-1,6)}{2} = \frac{-0,2}{2} = -0,1$. Аналогичные расчеты для других пар ($B$ и $E$, $C$ и $D$) также дают $-0,1$.

Ответ: Точки образуют пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно точки с координатой $-0,1$.

4)

Начертим координатную прямую с единичным отрезком в 3 клетки. Чтобы отметить точки, необходимо их координаты (или их модули) умножить на 3.

Найдем положение каждой точки в клетках от начала отсчета (0):
$A(-2\frac{1}{2})$ или $A(-2,5)$: $2,5 \times 3 = 7,5$ клеток влево.
$B(-1\frac{1}{3})$: $|-1\frac{1}{3}| \times 3 = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ клетки влево.
$C(-\frac{5}{6})$: $|-\frac{5}{6}| \times 3 = \frac{5}{6} \times 3 = \frac{5}{2} = 2,5$ клетки влево.
$D(\frac{5}{6})$: $\frac{5}{6} \times 3 = \frac{5}{2} = 2,5$ клетки вправо.
$E(1\frac{1}{3})$: $1\frac{1}{3} \times 3 = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ клетки вправо.
$F(2,5)$: $2,5 \times 3 = 7,5$ клеток вправо.

Отметив точки, можно заметить, что они образуют три пары, симметричные относительно начала координат: $A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$. Координаты точек в каждой паре являются противоположными числами: ($-2\frac{1}{2}$ и $2,5$), ($-1\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{3}$), ($-\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{6}$).

Ответ: Точки образуют три пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно начала координат.

Условие 2010-2022.

311 Начерти координатную прямую и отметь на ней точки. Что ты замечаешь?

1) A (-9), B (-8), C (-5), D (-4), E (-1), F (0), G (3), H (4) (единичный отрезок – 2 клетки);

2) A ($2\frac{3}{4}$), B (1,5), C (0,25), D (-1), E ($-2\frac{1}{4}$), F (-3,5) (единичный отрезок – 4 клетки);

3) A (1,4), B (0,8), C (0,2), D (-0,4), E (-1), F (-1,6) (единичный отрезок – 10 клеток);

4) A ($-2\frac{1}{2}$), B ($-1\frac{1}{3}$), C ($-\frac{5}{6}$), D ($\frac{5}{6}$), E ($1\frac{1}{3}$), F (2,5) (единичный отрезок – 6 клеток).

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).