Номер 390, страница 87, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Противоположные числа и модуль. Параграф 1. Понятие рационального числа. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 390, страница 87.

Условие 2023.

390 Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $p_1$, $p_2$, $p_3$ – производительность (скорость работы) первого, второго и третьего рабочих соответственно.
• Весь объем работы по выкапыванию канавы примем за 1.

Распишем условия задачи в виде математических выражений.

1. Первый этап работы (работал первый рабочий):
Время, за которое второй и третий рабочие вместе вырыли бы всю канаву, составляет $T_{23} = \frac{1}{p_2 + p_3}$.
Первый рабочий работал половину этого времени: $t_1 = \frac{1}{2} T_{23} = \frac{1}{2(p_2 + p_3)}$.
За это время он выполнил часть работы: $A_1 = p_1 \cdot t_1 = \frac{p_1}{2(p_2 + p_3)}$.

2. Второй этап работы (работал второй рабочий):
Время, за которое первый и третий рабочие вместе вырыли бы всю канаву, составляет $T_{13} = \frac{1}{p_1 + p_3}$.
Второй рабочий работал половину этого времени: $t_2 = \frac{1}{2} T_{13} = \frac{1}{2(p_1 + p_3)}$.
За это время он выполнил часть работы: $A_2 = p_2 \cdot t_2 = \frac{p_2}{2(p_1 + p_3)}$.

3. Третий этап работы (работал третий рабочий):
Время, за которое первый и второй рабочие вместе вырыли бы всю канаву, составляет $T_{12} = \frac{1}{p_1 + p_2}$.
Третий рабочий работал половину этого времени: $t_3 = \frac{1}{2} T_{12} = \frac{1}{2(p_1 + p_2)}$.
За это время он выполнил часть работы: $A_3 = p_3 \cdot t_3 = \frac{p_3}{2(p_1 + p_2)}$.

По условию, в результате этих трех этапов вся канава была вырыта. Это означает, что сумма выполненных работ равна 1: $A_1 + A_2 + A_3 = 1$
Подставим выражения для $A_1$, $A_2$, $A_3$:
$\frac{p_1}{2(p_2 + p_3)} + \frac{p_2}{2(p_1 + p_3)} + \frac{p_3}{2(p_1 + p_2)} = 1$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить:
$\frac{p_1}{p_2 + p_3} + \frac{p_2}{p_1 + p_3} + \frac{p_3}{p_1 + p_2} = 2$

Теперь определим время, которое требуется сравнить.

Общее время, затраченное на рытье канавы поочередно, равно сумме времен работы каждого рабочего: $T_{посл} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{1}{2(p_2 + p_3)} + \frac{1}{2(p_1 + p_3)} + \frac{1}{2(p_1 + p_2)}$

Время, которое потребовалось бы, если бы все трое работали одновременно, определяется их суммарной производительностью: $T_{совм} = \frac{1}{p_1 + p_2 + p_3}$

Нам нужно найти, во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, то есть найти отношение $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} $: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{p_1+p_2} + \frac{1}{p_1+p_3} + \frac{1}{p_2+p_3} \right)}{\frac{1}{p_1 + p_2 + p_3}} = \frac{1}{2} (p_1 + p_2 + p_3) \left( \frac{1}{p_1+p_2} + \frac{1}{p_1+p_3} + \frac{1}{p_2+p_3} \right) $

Преобразуем полученное выражение, раскрыв скобки: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( \frac{p_1+p_2+p_3}{p_1+p_2} + \frac{p_1+p_2+p_3}{p_1+p_3} + \frac{p_1+p_2+p_3}{p_2+p_3} \right) $
Разделим каждую дробь на две: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{p_1+p_2}{p_1+p_2} + \frac{p_3}{p_1+p_2}\right) + \left(\frac{p_1+p_3}{p_1+p_3} + \frac{p_2}{p_1+p_3}\right) + \left(\frac{p_2+p_3}{p_2+p_3} + \frac{p_1}{p_2+p_3}\right) \right) $
$ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( \left(1 + \frac{p_3}{p_1+p_2}\right) + \left(1 + \frac{p_2}{p_1+p_3}\right) + \left(1 + \frac{p_1}{p_2+p_3}\right) \right) $
Сгруппируем слагаемые: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{p_1}{p_2+p_3} + \frac{p_2}{p_1+p_3} + \frac{p_3}{p_1+p_2} \right) $

Ранее мы вывели из условия, что $\frac{p_1}{p_2 + p_3} + \frac{p_2}{p_1 + p_3} + \frac{p_3}{p_1 + p_2} = 2$. Подставим это значение в наше выражение: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} (3 + 2) = \frac{5}{2} = 2.5 $

Таким образом, при одновременной работе всех троих рабочих канава была бы вырыта в 2,5 раза быстрее.

Ответ: в 2,5 раза.

Условие 2010-2022.

390 Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).