Номер 391, страница 87, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Противоположные числа и модуль. Параграф 1. Понятие рационального числа. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 391, страница 87.

Условие 2023.

391 Реши уравнения:

1) $|x| = x;$

2) $|x| = -x;$

3) $|x| = 2x;$

4) $|2x| = 6;$

5) $|x - 1| = 0;$

6) $|2x - 1| = 0;$

7) $|x + 1| = 4;$

8) $|x - 2| = -3.$

Решение 2 (2023).

1) $|x| = x$

По определению, модуль числа $|x|$ равен самому числу $x$, если $x$ — неотрицательное число ($x \ge 0$), и равен $-x$, если $x$ — отрицательное число ($x < 0$).

Таким образом, уравнение $|x| = x$ является верным для всех неотрицательных чисел.

Следовательно, решением является любое число $x$, такое что $x \ge 0$.

Ответ: $x \ge 0$.

2) $|x| = -x$

По определению, модуль числа $|x|$ равен $-x$ для всех неположительных чисел ($x \le 0$).

Рассмотрим два случая:
1. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Уравнение $-x = -x$ верно для всех $x < 0$.
2. Если $x = 0$, то $|0| = 0$ и $-0 = 0$. Уравнение $0 = 0$ также верно.

Объединяя эти случаи, получаем, что решением является любое число $x$, такое что $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$.

3) $|x| = 2x$

Так как модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

При условии $x \ge 0$, по определению модуля $|x| = x$.

Подставим это в исходное уравнение: $x = 2x$.

Вычтем $x$ из обеих частей: $2x - x = 0$, откуда получаем $x = 0$.

Найденное значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, значит, это единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 0$.

4) $|2x| = 6$

Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям, так как выражение под знаком модуля, $2x$, может быть равно либо $6$, либо $-6$. Рассмотрим оба случая:

1. $2x = 6$. Разделим обе части на 2: $x = 3$.
2. $2x = -6$. Разделим обе части на 2: $x = -3$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

5) $|x - 1| = 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю.

Следовательно, приравниваем подмодульное выражение к нулю: $x - 1 = 0$.

Прибавим 1 к обеим частям уравнения: $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

6) $|2x - 1| = 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю.

Следовательно, приравниваем подмодульное выражение к нулю: $2x - 1 = 0$.

Прибавим 1 к обеим частям: $2x = 1$.

Разделим обе части на 2: $x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Ответ: $x = 0.5$.

7) $|x + 1| = 4$

Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям, так как выражение под знаком модуля, $x+1$, может быть равно либо $4$, либо $-4$. Рассмотрим оба случая:

1. $x + 1 = 4$. Вычтем 1 из обеих частей: $x = 4 - 1$, откуда $x = 3$.
2. $x + 1 = -4$. Вычтем 1 из обеих частей: $x = -4 - 1$, откуда $x = -5$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.

8) $|x - 2| = -3$

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

В данном уравнении модуль выражения $|x - 2|$ приравнивается к отрицательному числу $-3$.

Такое равенство невозможно для действительных чисел.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Условие 2010-2022.

391 Реши уравнения:

1) $ |x| = x; $

2) $ |x| = -x; $

3) $ |x| = 2x; $

4) $ |2x| = 6; $

5) $ |x - 1| = 0; $

6) $ |2x - 1| = 0; $

7) $ |x + 1| = 4; $

8) $ |x - 2| = -3. $

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).