Номер 396, страница 89, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 3. Сравнение рациональных чисел - номер 396, страница 89.

Условие 2023.

396 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall x \in N: -x < 0;$

2) $\exists y \in Z: -y > 0;$

3) $\forall a \in Z: a > 0;$

4) $\exists b \in Z: |b| = -b.$

Решение 2 (2023).

1) $ \forall x \in N: -x < 0 $

Данное высказывание читается как: "Для любого натурального числа $x$ верно, что $-x < 0$".

Множество натуральных чисел $N$ — это множество положительных целых чисел: $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Если $x$ — любое натуральное число, то по определению $x > 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-x < 0$.

Так как это верно для любого элемента из множества $N$, высказывание является истинным.

Ответ: истинно.

2) $ \exists y \in Z: -y > 0 $

Данное высказывание читается как: "Существует такое целое число $y$, для которого верно, что $-y > 0$".

Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.

Рассмотрим неравенство $-y > 0$. Умножив обе его части на $-1$, получим $y < 0$.

Следовательно, нам нужно выяснить, существует ли в множестве целых чисел хотя бы одно число, которое меньше нуля. Да, такие числа существуют, например, $-1, -5, -100$. Возьмем $y = -3$. Тогда $-y = -(-3) = 3$, и $3 > 0$.

Так как мы можем найти такое число, высказывание является истинным.

Ответ: истинно.

3) $ \forall a \in Z: a > 0 $

Данное высказывание читается как: "Для любого целого числа $a$ верно, что $a > 0$".

Это утверждение заявляет, что все целые числа являются положительными. Однако это не так. Множество целых чисел $Z$ содержит ноль и отрицательные числа. Например, можно взять $a = 0$. Неравенство $0 > 0$ ложно. Или можно взять $a = -2$. Неравенство $-2 > 0$ также ложно. Наличие хотя бы одного контрпримера делает высказывание с квантором всеобщности ложным.

Поскольку высказывание ложно, построим его отрицание. Отрицание высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) строится путем замены его на квантор существования ($\exists$) и отрицания самого предиката.

Отрицанием для предиката $a > 0$ является предикат $a \le 0$.

Таким образом, отрицание исходного высказывания выглядит так: $ \exists a \in Z: a \le 0 $. Это высказывание читается как: "Существует такое целое число $a$, что $a$ меньше или равно нулю".

Ответ: ложно. Отрицание: $ \exists a \in Z: a \le 0 $.

4) $ \exists b \in Z: |b| = -b $

Данное высказывание читается как: "Существует такое целое число $b$, что его модуль равен $-b$".

Вспомним определение модуля (абсолютной величины) числа:

• $|b| = b$, если $b \ge 0$
• $|b| = -b$, если $b < 0$

Из определения следует, что равенство $|b| = -b$ выполняется для любого $b$, которое меньше нуля ($b < 0$). Также оно выполняется для $b=0$, поскольку $|0| = 0$ и $-0 = 0$. Таким образом, равенство верно для всех неположительных чисел ($b \le 0$).

Нам нужно проверить, существует ли в множестве целых чисел $Z$ хотя бы одно такое число. Да, существует. Например, $b = -10$ или $b = 0$.

Поскольку мы нашли подходящее число, высказывание является истинным.

Ответ: истинно.

Условие 2010-2022.

396 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall x \in N: -x < 0;$

2) $\exists y \in Z: -y > 0;$

3) $\forall a \in Z: a > 0;$

4) $\exists b \in Z: |b| = -b.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).