Номер 507, страница 111, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Вычитание рациональных чисел. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 507, страница 111.

Условие 2023.

507 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора.

Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа.

Какое это число?

Решение 2 (2023).

Перевод условия задачи на математический язык

Пусть искомое двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10a + b$. Поскольку число двузначное, цифра десятков $a$ может быть от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а цифра единиц $b$ — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Если поменять цифры местами, то получится новое число, у которого $b$ десятков и $a$ единиц. Его можно представить в виде $10b + a$. В условии сказано, что полученное число также является двузначным, следовательно, цифра десятков $b$ не может быть нулем, то есть $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Согласно условию, если полученное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа. Запишем это в виде уравнения:
$2 \cdot (10b + a) = (10a + b) - 34$

Упростим это уравнение:
$20b + 2a = 10a + b - 34$
$20b - b = 10a - 2a - 34$
$19b = 8a - 34$
Или, выразив $8a$:
$8a = 19b + 34$

Решение методом перебора

Теперь нам нужно найти такие целые значения $a$ и $b$ (где $a, b \in \{1, 2, ..., 9\}$), которые удовлетворяют уравнению $8a = 19b + 34$. Будем перебирать возможные значения $b$ от 1 до 9.

Можно заметить, что левая часть уравнения, $8a$, всегда является четным числом. Правая часть, $19b + 34$, также должна быть четной. Поскольку 34 — четное число, слагаемое $19b$ тоже должно быть четным. Это возможно только если $b$ — четное число. Значит, нам достаточно проверить только $b \in \{2, 4, 6, 8\}$.

• При $b = 2$:
  $8a = 19 \cdot 2 + 34 = 38 + 34 = 72$
  $a = 72 \div 8 = 9$.
  Значение $a = 9$ является цифрой от 1 до 9, поэтому это решение нам подходит.
  Искомое число: $10a + b = 10 \cdot 9 + 2 = 92$.
• При $b = 4$:
  $8a = 19 \cdot 4 + 34 = 76 + 34 = 110$
  $a = 110 \div 8 = 13.75$. Это не целое число, решение не подходит.
• При $b = 6$:
  $8a = 19 \cdot 6 + 34 = 114 + 34 = 148$
  $a = 148 \div 8 = 18.5$. Это не целое число, решение не подходит.
• При $b = 8$:
  $8a = 19 \cdot 8 + 34 = 152 + 34 = 186$
  $a = 186 \div 8 = 23.25$. Это не целое число, решение не подходит.

Единственная пара цифр, удовлетворяющая условию, — это $a = 9$ и $b = 2$.
Проверим найденное решение. Исходное число — 92. Число с переставленными цифрами — 29.
$2 \cdot 29 = 58$.
$92 - 58 = 34$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 92.

Условие 2010-2022.

507 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора:

Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа.

Какое это число?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).