Номер 511, страница 111, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 2. Вычитание рациональных чисел - номер 511, страница 111.

Условие 2023.

511* Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{6}$ и $\frac{9}{20}$ своего задания, а второй за эти же дни — $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{11}$ и $\frac{3}{7}$ своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день?

Решение 2 (2023).

Пусть первый токарь получил задание изготовить $x$ деталей, а второй — $y$ деталей. По условию задачи, общее число деталей меньше 1000, следовательно, $x + y < 1000$. Поскольку речь идет о количестве деталей, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, а количество деталей, изготовленных за каждый день, должно быть целым числом.

1. Найдем общее количество деталей для первого токаря ($x$).

• В первый день он изготовил $\frac{1}{7}$ своего задания, значит, $\frac{1}{7}x$ — целое число. Это означает, что $x$ делится на 7.
• Во второй день он изготовил $\frac{1}{6}$ своего задания, значит, $\frac{1}{6}x$ — целое число. Это означает, что $x$ делится на 6.
• В третий день он изготовил $\frac{9}{20}$ своего задания, значит, $\frac{9}{20}x$ — целое число. Поскольку числа 9 и 20 взаимно простые (не имеют общих делителей кроме 1), $x$ должен делиться на 20.

Таким образом, $x$ должен быть общим кратным для чисел 6, 7 и 20. Чтобы найти наименьшее возможное значение $x$, найдем их наименьшее общее кратное (НОК):
$НОК(6, 7, 20) = НОК(2 \cdot 3, 7, 2^2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.
Значит, $x$ должен быть кратен 420. То есть $x$ может быть равен 420, 840, 1260 и т.д.

2. Найдем общее количество деталей для второго токаря ($y$).

• В первый день он изготовил $\frac{1}{4}$ своего задания, значит, $y$ делится на 4.
• Во второй день он изготовил $\frac{3}{11}$ своего задания, значит, $\frac{3}{11}y$ — целое число. Поскольку 3 и 11 взаимно простые, $y$ должен делиться на 11.
• В третий день он изготовил $\frac{3}{7}$ своего задания, значит, $\frac{3}{7}y$ — целое число. Поскольку 3 и 7 взаимно простые, $y$ должен делиться на 7.

Таким образом, $y$ должен быть общим кратным для чисел 4, 7 и 11. Найдем их НОК:
$НОК(4, 7, 11) = НОК(2^2, 7, 11) = 2^2 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 77 = 308$.
Значит, $y$ должен быть кратен 308. То есть $y$ может быть равен 308, 616, 924 и т.д.

3. Подберем значения $x$ и $y$ с учетом общего условия.

Мы знаем, что $x$ кратно 420, $y$ кратно 308, и $x + y < 1000$.Пусть $x = 420k$ и $y = 308m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа.$420k + 308m < 1000$.Рассмотрим наименьшие возможные значения: $k=1$ и $m=1$.$x = 420 \cdot 1 = 420$$y = 308 \cdot 1 = 308$Проверим сумму: $420 + 308 = 728$.$728 < 1000$. Это решение удовлетворяет условию.Проверим, есть ли другие решения. Если взять $k=2$, то $x = 840$. Тогда $840 + 308m < 1000$, что дает $308m < 160$, а это невозможно для натурального $m$. Если взять $m=2$, то $y=616$. Тогда $420k + 616 < 1000$, что дает $420k < 384$, а это невозможно для натурального $k$.Следовательно, единственное решение: первый токарь должен был изготовить 420 деталей, а второй — 308 деталей.

4. Вычислим, сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день.

Первый токарь в третий день изготовил $\frac{9}{20}$ своего задания:$\frac{9}{20} \cdot 420 = 9 \cdot 21 = 189$ деталей.Второй токарь в третий день изготовил $\frac{3}{7}$ своего задания:$\frac{3}{7} \cdot 308 = 3 \cdot 44 = 132$ детали.

Ответ: в третий день первый токарь изготовил 189 деталей, а второй токарь — 132 детали.

Условие 2010-2022.

511. Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно $ \frac{1}{7}, \frac{1}{6} \text{ и } \frac{9}{20} $ своего задания, а второй за эти же дни $ \frac{1}{4}, \frac{3}{11} \text{ и } \frac{3}{7} $ своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).