Номер 562, страница 123, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Какие числа мы знаем и что мы о них знаем или не знаем. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 562, страница 123.

Условие 2023.

562 Выпиши основные арифметические законы и известные тебе свойства арифметических действий. Выполняются ли они на множествах N, Z, Q?

Решение 2 (2023).

Основные арифметические законы и свойства

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливы следующие законы и свойства:

• Переместительный (коммутативный) закон

  • Сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
    $a + b = b + a$

  • Умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется.
    $a \cdot b = b \cdot a$

• Сочетательный (ассоциативный) закон

  • Сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
    $(a + b) + c = a + (b + c)$

  • Умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
    $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

• Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения

  Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

• Свойства нейтральных элементов (0 и 1)

  • Свойство нуля при сложении: существует число 0 (ноль), такое, что прибавление его к любому числу не меняет это число.
    $a + 0 = 0 + a = a$

  • Свойство единицы при умножении: существует число 1 (единица), такое, что умножение на него любого числа не меняет это число.
    $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

• Свойства обратных элементов

  • Существование противоположного элемента: для любого числа $a$ существует противоположное ему число $-a$, такое, что их сумма равна нулю.
    $a + (-a) = 0$

  • Существование обратного элемента: для любого ненулевого числа $a$ существует обратное ему число $a^{-1}$ (или $1/a$), такое, что их произведение равно единице.
    $a \cdot a^{-1} = 1$ (для $a \neq 0$)

Выполнение законов на множествах N, Z, Q

На множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3, ...}

• Переместительный закон (сложения и умножения): выполняется.

• Сочетательный закон (сложения и умножения): выполняется.

• Распределительный закон: выполняется.

• Свойство нейтрального элемента для сложения (нуля): не выполняется, так как ноль не является натуральным числом ($0 \notin N$).

• Свойство нейтрального элемента для умножения (единицы): выполняется, так как $1 \in N$.

• Существование противоположного элемента: не выполняется. Например, для натурального числа 3 противоположное ему число -3 не является натуральным.

• Существование обратного элемента: не выполняется (кроме числа 1). Например, для натурального числа 3 обратное ему число $1/3$ не является натуральным.

Ответ: На множестве натуральных чисел выполняются переместительный, сочетательный, распределительный законы и свойство единицы при умножении. Свойства, связанные с нулем, противоположными и обратными элементами (кроме 1), не выполняются.

На множестве целых чисел Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

• Переместительный, сочетательный и распределительный законы: выполняются.

• Свойства нейтральных элементов (0 и 1): выполняются, так как $0 \in Z$ и $1 \in Z$.

• Существование противоположного элемента: выполняется. Для любого целого $a$ существует целое $-a$.

• Существование обратного элемента: не выполняется (кроме чисел 1 и -1). Например, для целого числа 3 обратное ему число $1/3$ не является целым.

Ответ: На множестве целых чисел выполняются все перечисленные законы и свойства, кроме существования обратного элемента для умножения (он существует только для 1 и -1).

На множестве рациональных чисел Q

Множество рациональных чисел включает все целые и дробные числа. Все перечисленные ниже законы и свойства для них выполняются.

• Переместительный, сочетательный и распределительный законы: выполняются.

• Свойства нейтральных элементов (0 и 1): выполняются.

• Существование противоположного элемента: выполняется.

• Существование обратного элемента: выполняется для любого ненулевого рационального числа.

Ответ: На множестве рациональных чисел выполняются все перечисленные арифметические законы и свойства.

Условие 2010-2022.

562 Выпиши основные арифметические законы и известные тебе свойства арифметических действий. Выполняются ли они на множествах $N$, $Z$, $Q$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).