Номер 565, страница 123, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Какие числа мы знаем и что мы о них знаем или не знаем. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 565, страница 123.

Условие 2023.

565 Является ли рациональным числом:

а) длина диагонали квадрата со стороной, равной 2;

б) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2?

Решение 2 (2023).

а)

Пусть сторона квадрата $a = 2$. Диагональ $d$ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны сторонам квадрата. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

Отсюда находим длину диагонали:

$d = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Произведение ненулевого рационального числа (2) и иррационального числа ($\sqrt{2}$) является иррациональным числом. Следовательно, длина диагонали не является рациональным числом.

Ответ: нет, длина диагонали квадрата не является рациональным числом.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = 1$ и $b = 2$. Длину гипотенузы $c$ найдем по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

Отсюда находим длину гипотенузы:

$c = \sqrt{5}$

Поскольку число 5 не является полным квадратом целого числа, корень из 5, то есть $\sqrt{5}$, является иррациональным числом. Следовательно, длина гипотенузы не является рациональным числом.

Ответ: нет, длина гипотенузы не является рациональным числом.

Условие 2010-2022.

565 Является ли рациональным числом:

а) длина диагонали квадрата со стороной, равной 2;

б) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).