Номер 580, страница 127, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 6. О системах счисления - номер 580, страница 127.

Условие 2023.

580 Построй математическую модель и реши её методом перебора:

На двух полках было 52 книги. Когда с первой полки взяли 40 % стоящих на ней книг, а со второй полки — $ \frac{4}{9} $ стоящих на ней книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Решение 2 (2023).

Построение математической модели

Пусть $x$ — первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

По условию, всего на двух полках было 52 книги. Это позволяет составить первое уравнение:
$x + y = 52$

С первой полки взяли 40% книг, значит, на ней осталось $100\% - 40\% = 60\%$ книг. Количество оставшихся на первой полке книг равно $0.6x$.

Со второй полки взяли $\frac{4}{9}$ книг, значит, на ней осталось $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ от первоначального количества. Количество оставшихся на второй полке книг равно $\frac{5}{9}y$.

После этого количество книг на обеих полках стало поровну. Это позволяет составить второе уравнение:
$0.6x = \frac{5}{9}y$

Поскольку количество книг может быть только целым числом, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами.
Из выражения для оставшихся книг на первой полке $0.6x = \frac{6}{10}x = \frac{3}{5}x$ следует, что число $x$ должно быть кратно 5 (чтобы результат был целым числом).
Аналогично, из выражения $\frac{5}{9}y$ следует, что число $y$ должно быть кратно 9.

Решение методом перебора

Итак, нам необходимо найти пару натуральных чисел $x$ и $y$, для которых одновременно выполняются три условия:
1. $x + y = 52$
2. $x$ кратно 5
3. $y$ кратно 9

Будем перебирать возможные значения для $y$ (числа, кратные 9 и меньшие 52) и для каждого из них вычислять соответствующее значение $x$ по формуле $x = 52 - y$. Затем проверим, кратно ли полученное значение $x$ числу 5.

• Пусть $y = 9$. Тогда $x = 52 - 9 = 43$. Число 43 не кратно 5. Вариант не подходит.
• Пусть $y = 18$. Тогда $x = 52 - 18 = 34$. Число 34 не кратно 5. Вариант не подходит.
• Пусть $y = 27$. Тогда $x = 52 - 27 = 25$. Число 25 кратно 5. Этот вариант подходит.
• Пусть $y = 36$. Тогда $x = 52 - 36 = 16$. Число 16 не кратно 5. Вариант не подходит.
• Пусть $y = 45$. Тогда $x = 52 - 45 = 7$. Число 7 не кратно 5. Вариант не подходит.

Единственная пара чисел, удовлетворяющая всем условиям, — это $x = 25$ и $y = 27$.
Проверим, выполняется ли для этой пары равенство $0.6x = \frac{5}{9}y$:
Количество книг, оставшихся на первой полке: $0.6 \cdot 25 = 15$.
Количество книг, оставшихся на второй полке: $\frac{5}{9} \cdot 27 = 5 \cdot 3 = 15$.
$15 = 15$. Равенство верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: первоначально на первой полке было 25 книг, а на второй — 27 книг.

Условие 2010-2022.

580 Построй математическую модель и реши ее методом перебора:

На двух полках было 52 книги. Когда с первой полки взяли $40\%$ стоящих на ней книг, а со второй полки – $\frac{4}{9}$ стоящих на ней книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).