Номер 582, страница 127, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 6. О системах счисления - номер 582, страница 127.

Условие 2023.

* 582

Составь таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления и выполни действия:

a) $21021_3 + 210202_3$;

б) $102_3 \cdot 201_3$.

Решение 2 (2023).

Троичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 3. Для записи чисел в ней используются три цифры: 0, 1 и 2.

Таблица сложения для троичной системы

Сложение в троичной системе выполняется по тем же правилам, что и в десятичной, но перенос в следующий разряд происходит, когда сумма достигает или превышает 3.

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

Например, $1_3 + 2_3 = 3_{10}$. Поскольку $3 = 1 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0$, то в троичной системе это записывается как $10_3$. Аналогично, $2_3 + 2_3 = 4_{10} = 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 11_3$.

Таблица умножения для троичной системы

Умножение также выполняется аналогично десятичной системе.

·	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

Например, $2_3 \cdot 2_3 = 4_{10} = 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 11_3$.

Теперь выполним действия, используя эти таблицы.

а) $21021_3 + 210202_3$

Выполним сложение столбиком. Складываем цифры в каждом разряде справа налево. Если сумма равна или больше 3, происходит перенос единицы в старший разряд.
¹ ¹ ¹¹ 021021_3+ 210202_3----------- 1002000_3
Пояснение по разрядам:
1. Разряд $3^0$ (единицы): $1_3 + 2_3 = 10_3$. Пишем 0, переносим 1 в следующий разряд.
2. Разряд $3^1$ (тройки): $2_3 + 0_3 + 1 \text{(перенос)} = 10_3$. Пишем 0, переносим 1.
3. Разряд $3^2$ (девятки): $0_3 + 2_3 + 1 \text{(перенос)} = 10_3$. Пишем 0, переносим 1.
4. Разряд $3^3$: $1_3 + 0_3 + 1 \text{(перенос)} = 2_3$. Пишем 2.
5. Разряд $3^4$: $2_3 + 1_3 = 10_3$. Пишем 0, переносим 1.
6. Разряд $3^5$: Для удобства представим первое число как $021021_3$. Тогда $0 + 2_3 + 1 \text{(перенос)} = 10_3$. Пишем 10.
Сложив все разряды, получаем итоговый результат.
Ответ: $1002000_3$.

б) $102_3 \cdot 201_3$

Выполним умножение столбиком. Умножаем первое число последовательно на каждую цифру второго числа (справа налево), получая неполные произведения. Затем складываем их с учетом сдвига.
102_3 × 201_3 --------- 102 ($102_3 \cdot 1_3$) 000 ($102_3 \cdot 0_3$, со сдвигом на 1 разряд)+ 211 ($102_3 \cdot 2_3$, со сдвигом на 2 разряда) --------- 21202_3
Распишем шаги:
1. Умножаем $102_3$ на $1_3$: $102_3 \cdot 1 = 102_3$.
2. Умножаем $102_3$ на $0_3$: $102_3 \cdot 0 = 0$. Записываем $000$ со сдвигом на один разряд влево.
3. Умножаем $102_3$ на $2_3$: $2_3 \cdot 2_3 = 11_3$ (пишем 1, 1 в уме); $0_3 \cdot 2_3 + 1 = 1_3$ (пишем 1); $1_3 \cdot 2_3 = 2_3$ (пишем 2). Получаем $211_3$. Записываем со сдвигом на два разряда влево.
4. Складываем неполные произведения: $102_3 + 0000_3 + 21100_3 = 21202_3$.
Ответ: $21202_3$.

Условие 2010-2022.

582 Составь таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления и выполни действия:

а) $21021_3 + 210202_3$;

б) $102_3 \cdot 201_3$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).