Номер 405, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

405. 1) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}y + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}y;$

2) $\frac{1}{5}a^2 + \frac{3}{4}b^2 + \frac{4}{5}a^2 - \frac{3}{4}b^2;$

3) $2ab + 0.7b^2 - 0.5ab + 1.2b^2 + 8ab;$

4) $5xy - 3.5y^2 - 2xy + 1.3y^2 - xy.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}y + \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}y$, необходимо сгруппировать и привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.
Сгруппируем слагаемые с $x^2$ и слагаемые с $y$:
$(\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x^2) + (-\frac{1}{3}y + \frac{1}{3}y)$
Теперь выполним сложение коэффициентов в каждой группе:
$(\frac{1}{3} + \frac{2}{3})x^2 + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3})y = \frac{3}{3}x^2 + 0 \cdot y = 1 \cdot x^2 + 0 = x^2$.
Ответ: $x^2$.

2) Упростим выражение $\frac{1}{5}a^2 + \frac{3}{4}b^2 + \frac{4}{5}a^2 - \frac{3}{4}b^2$, найдя и сгруппировав подобные слагаемые.
Слагаемые с $a^2$: $\frac{1}{5}a^2$ и $\frac{4}{5}a^2$.
Слагаемые с $b^2$: $\frac{3}{4}b^2$ и $-\frac{3}{4}b^2$.
Сгруппируем и вычислим:
$(\frac{1}{5}a^2 + \frac{4}{5}a^2) + (\frac{3}{4}b^2 - \frac{3}{4}b^2) = (\frac{1}{5} + \frac{4}{5})a^2 + (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})b^2 = \frac{5}{5}a^2 + 0 \cdot b^2 = 1 \cdot a^2 + 0 = a^2$.
Ответ: $a^2$.

3) Приведем подобные слагаемые в выражении $2ab + 0,7b^2 - 0,5ab + 1,2b^2 + 8ab$.
Сгруппируем слагаемые с буквенной частью $ab$ и слагаемые с $b^2$:
$(2ab - 0,5ab + 8ab) + (0,7b^2 + 1,2b^2)$
Сложим коэффициенты в каждой группе:
$(2 - 0,5 + 8)ab + (0,7 + 1,2)b^2 = 9,5ab + 1,9b^2$.
Ответ: $9,5ab + 1,9b^2$.

4) Упростим выражение $5xy - 3,5y^2 - 2xy + 1,3y^2 - xy$, приведя подобные слагаемые.
Сгруппируем слагаемые с $xy$ и слагаемые с $y^2$. Учтем, что коэффициент при $-xy$ равен $-1$.
$(5xy - 2xy - xy) + (-3,5y^2 + 1,3y^2)$
Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:
$(5 - 2 - 1)xy + (-3,5 + 1,3)y^2 = 2xy - 2,2y^2$.
Ответ: $2xy - 2,2y^2$.