Номер 11, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 5. Степень с натуральным показателем - номер 11, страница 33.

Условие.

11. Докажите, что значение выражения $10^n + 5$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$.

Решение.

При любом натуральном значении $n$ значение выражения $10^n$ имеет вид $1\underbrace{00...0}_{n \text{ раз}}$. Следовательно, значение выражения $10^n + 5$ имеет вид $1\underbrace{00...0}_{n-1 \text{ раз}}5$. Сумма цифр полученного числа равна

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение:

Для доказательства того, что значение выражения $10^n + 5$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся признаком делимости на 3. Согласно этому признаку, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Этот метод решения как раз и предложен в условии задачи.

При любом натуральном значении $n$ число $10^n$ представляет собой единицу, за которой следует $n$ нулей (например, $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$).

Следовательно, прибавив 5, мы получим число, которое будет состоять из первой цифры 1, последней цифры 5, и $n-1$ нулей между ними. Например: - при $n=1$: $10^1 + 5 = 15$ - при $n=2$: $10^2 + 5 = 105$ - при $n=3$: $10^3 + 5 = 1005$ В общем виде число можно записать как $1\underbrace{00...0}_{n-1 \text{ раз}}5$.

Теперь найдем сумму цифр этого числа. Она будет состоять из первой цифры (1), суммы $n-1$ нулей и последней цифры (5): $1 + (n-1) \cdot 0 + 5 = 1 + 0 + 5 = 6$.

Таким образом, сумма цифр числа $10^n + 5$ для любого натурального $n$ постоянна и равна 6.

Поскольку полученная сумма цифр (6) делится нацело на 3 ($6 \div 3 = 2$), то, по признаку делимости на 3, и само число $10^n + 5$ делится нацело на 3 при любом натуральном $n$.

Для полноты решения приведем еще два способа доказательства.

Способ 2: Использование сравнений по модулю.
Нам нужно доказать, что $10^n + 5$ делится на 3, то есть $10^n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$.
Рассмотрим остатки от деления на 3 для чисел 10 и 5.
$10 = 3 \cdot 3 + 1 \implies 10 \equiv 1 \pmod{3}$.
Возводя в любую натуральную степень $n$, получаем: $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$.
$5 = 1 \cdot 3 + 2 \implies 5 \equiv 2 \pmod{3}$.
Теперь сложим эти сравнения: $10^n + 5 \equiv 1 + 2 \pmod{3}$.
$10^n + 5 \equiv 3 \pmod{3}$.
Так как $3 \equiv 0 \pmod{3}$, то и $10^n + 5 \equiv 0 \pmod{3}$. Это доказывает, что $10^n + 5$ делится на 3 без остатка.

Способ 3: Метод математической индукции.
1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$10^1 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3. Утверждение верно.
2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k$, то есть $10^k + 5$ делится на 3.
3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что $10^{k+1} + 5$ делится на 3.
$10^{k+1} + 5 = 10 \cdot 10^k + 5 = (9+1) \cdot 10^k + 5 = 9 \cdot 10^k + (10^k + 5)$.
В полученной сумме первое слагаемое $9 \cdot 10^k$ очевидно делится на 3, так как содержит множитель 9. Второе слагаемое $(10^k + 5)$ делится на 3 по нашему индукционному предположению. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 3, также делится на 3. Следовательно, $10^{k+1} + 5$ делится на 3.
По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Сумма цифр полученного числа равна $1+0+5=6$. Так как 6 делится на 3, то и само число $10^n+5$ делится на 3 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.