Номер 12, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 5. Степень с натуральным показателем - номер 12, страница 33.

Условие.

12. Докажите, что значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело на 6 при любом натуральном значении $n$.

Решение.

Для того чтобы доказать, что число делится нацело на 6, надо показать, что оно делится нацело и на 2, и на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело на 6, необходимо доказать, что оно делится нацело и на 2, и на 3, поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Сначала докажем делимость на 2. Выражение $4 \cdot 10^n$ является четным числом при любом натуральном $n$, так как содержит множитель 4, который делится на 2. Число 2 также является четным. Сумма двух четных чисел ($4 \cdot 10^n$ и 2) всегда является четным числом. Следовательно, значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ всегда четное, а значит, делится нацело на 2.

Теперь докажем делимость на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Рассмотрим запись числа $4 \cdot 10^n + 2$. При любом натуральном $n$, число $10^n$ — это цифра 1, за которой следуют $n$ нулей. Соответственно, $4 \cdot 10^n$ — это цифра 4, за которой следуют $n$ нулей. Тогда число $4 \cdot 10^n + 2$ будет состоять из первой цифры 4, за ней будут следовать $n-1$ нулей, и последней цифры 2.
Например:
при $n=1$: $4 \cdot 10^1 + 2 = 42$;
при $n=2$: $4 \cdot 10^2 + 2 = 402$;
при $n=3$: $4 \cdot 10^3 + 2 = 4002$.
Сумма цифр такого числа при любом натуральном $n$ всегда будет равна $4 + 0 + \dots + 0 + 2 = 6$. Так как сумма цифр (6) делится нацело на 3, то и само число $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело на 3.

Поскольку мы доказали, что значение выражения $4 \cdot 10^n + 2$ делится нацело и на 2, и на 3, то оно делится и на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.