Номер 11, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 11, страница 35.

Условие.

11. Заполните пропуски так, чтобы получилось тождество:

1) $a^3 b^6 = (\underline{\hspace{4em}})^3$

2) $16m^4 n^4 = (\underline{\hspace{4em}})^4$

3) $-243p^{10}k^{15} = (\underline{\hspace{4em}})-$

4) $64a^{12}b^{18}c^{30} = (\underline{\hspace{4em}})-$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти одночлен, который нужно возвести в куб, чтобы получить $a^3b^6$, необходимо извлечь корень третьей степени из данного выражения. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^k y^l)^n = x^{kn} y^{ln}$, примененным в обратном порядке: $\sqrt[n]{x^{kn} y^{ln}} = x^k y^l$. В нашем случае $n=3$.
$\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} = a^{3/3} \cdot b^{6/3} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Таким образом, пропуск нужно заполнить одночленом $ab^2$.
Проверка: $(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$. Тождество выполняется.
Ответ: $ab^2$

2) Чтобы найти одночлен, который нужно возвести в четвертую степень, чтобы получить $16m^4n^4$, необходимо извлечь корень четвертой степени из данного выражения.
$\sqrt[4]{16m^4n^4} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{n^4}$.
Найдем корень из числового коэффициента: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Найдем корни из переменных: $\sqrt[4]{m^4} = m^{4/4} = m$ и $\sqrt[4]{n^4} = n^{4/4} = n$.
Собираем все вместе: $2mn$.
Проверка: $(2mn)^4 = 2^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 16m^4n^4$. Тождество выполняется.
Ответ: $2mn$

3) В данном тождестве пропущены как основание степени, так и показатель. Чтобы их найти, проанализируем выражение $-243p^{10}k^{15}$.
Показатель степени, в которую возводится скобка, должен быть общим делителем показателей степеней переменных, то есть 10 и 15. Найдем их наибольший общий делитель: НОД(10, 15) = 5.
Проверим, можно ли представить коэффициент -243 как число, возведенное в 5-ю степень. Да, $(-3)^5 = -243$.
Значит, показатель степени равен 5. Теперь найдем основание, извлекая корень 5-й степени:
$\sqrt[5]{-243p^{10}k^{15}} = \sqrt[5]{-243} \cdot \sqrt[5]{p^{10}} \cdot \sqrt[5]{k^{15}} = -3 \cdot p^{10/5} \cdot k^{15/5} = -3p^2k^3$.
Таким образом, тождество имеет вид: $-243p^{10}k^{15} = (-3p^2k^3)^5$.
Ответ: $(-3p^2k^3)^5$

4) Здесь также необходимо найти основание и показатель степени для выражения $64a^{12}b^{18}c^{30}$.
Показатель степени должен быть общим делителем показателей 12, 18 и 30. Найдем их наибольший общий делитель: НОД(12, 18, 30) = 6.
Проверим, можно ли представить коэффициент 64 как число, возведенное в 6-ю степень. Да, $2^6 = 64$.
Значит, искомый показатель степени равен 6. Теперь найдем основание, извлекая корень 6-й степени из всего выражения:
$\sqrt[6]{64a^{12}b^{18}c^{30}} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{a^{12}} \cdot \sqrt[6]{b^{18}} \cdot \sqrt[6]{c^{30}} = 2 \cdot a^{12/6} \cdot b^{18/6} \cdot c^{30/6} = 2a^2b^3c^5$.
Таким образом, тождество имеет вид: $64a^{12}b^{18}c^{30} = (2a^2b^3c^5)^6$.
Ответ: $(2a^2b^3c^5)^6$