Номер 13, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 13, страница 36.

Условие.

13. Запишите выражение $2^{60}$ в виде степени с основанием:

1) $2^8$;

2) $2^{15}$;

3) 16;

4) 64.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить выражение $2^{60}$ в виде степени с другим основанием, мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для каждого пункта задачи необходимо найти новый показатель степени $x$.

1) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием $2^3$.
Мы ищем такое число $x$, что $(2^3)^x = 2^{60}$.
Используя свойство степеней, левую часть равенства можно записать как $2^{3 \cdot x}$.
Таким образом, мы получаем уравнение: $2^{3x} = 2^{60}$.
Так как основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $3x = 60$.
Решая это уравнение, находим $x$:
$x = \frac{60}{3} = 20$.
Следовательно, $2^{60} = (2^3)^{20}$.
Ответ: $(2^3)^{20}$.

2) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием $2^{15}$.
Ищем такое число $x$, что $(2^{15})^x = 2^{60}$.
По свойству степеней: $2^{15 \cdot x} = 2^{60}$.
Приравниваем показатели: $15x = 60$.
Находим $x$:
$x = \frac{60}{15} = 4$.
Следовательно, $2^{60} = (2^{15})^4$.
Ответ: $(2^{15})^4$.

3) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 16.
Сначала выразим основание 16 через степень числа 2: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Теперь мы ищем такое число $x$, что $(16)^x = 2^{60}$.
Подставим $16 = 2^4$ в левую часть: $(2^4)^x = 2^{60}$.
По свойству степеней: $2^{4x} = 2^{60}$.
Приравниваем показатели: $4x = 60$.
Находим $x$:
$x = \frac{60}{4} = 15$.
Следовательно, $2^{60} = 16^{15}$.
Ответ: $16^{15}$.

4) Требуется представить $2^{60}$ в виде степени с основанием 64.
Сначала выразим основание 64 через степень числа 2: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.
Ищем такое число $x$, что $(64)^x = 2^{60}$.
Подставим $64 = 2^6$ в левую часть: $(2^6)^x = 2^{60}$.
По свойству степеней: $2^{6x} = 2^{60}$.
Приравниваем показатели: $6x = 60$.
Находим $x$:
$x = \frac{60}{6} = 10$.
Следовательно, $2^{60} = 64^{10}$.
Ответ: $64^{10}$.