Номер 12, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 12, страница 35.

Условие.

12. Найдите значение выражения:

1) $(7^4)^5 : (7^9)^2 = 7^{20} : 7^{18} =$

2) $8^6 : 16^4 = (2^3)^6 : (2^4)^4 =$

3) $\frac{11^{16} \cdot (11^7)^3}{(11^9)^4} =$

4) $\frac{36^3 \cdot 216^2}{6^{12}} =$

5) $\frac{2^9 \cdot 5^9}{10^6} = \frac{(2 \cdot 5)^9}{10^6} =$

6) $4^{19} \cdot 0,25^{17} = 4^2 \cdot 4^{17} \cdot 0,25^{17} =$

7) $\frac{18^6}{64 \cdot 27^4} = \frac{(2 \cdot 3^2)^6}{2^6 \cdot (3^3)^4} =$

8) $\frac{24^5}{4^7 \cdot 9^2} =$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для решения используем свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(7^4)^5 : (7^9)^2 = 7^{4 \cdot 5} : 7^{9 \cdot 2} = 7^{20} : 7^{18} = 7^{20-18} = 7^2 = 49$.
Ответ: 49

2) Представим основания 8 и 16 в виде степени числа 2: $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Затем используем свойства степеней.
$8^6 : 16^4 = (2^3)^6 : (2^4)^4 = 2^{3 \cdot 6} : 2^{4 \cdot 4} = 2^{18} : 2^{16} = 2^{18-16} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

3) Используем свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{11^{16} \cdot (11^7)^3}{(11^9)^4} = \frac{11^{16} \cdot 11^{7 \cdot 3}}{11^{9 \cdot 4}} = \frac{11^{16} \cdot 11^{21}}{11^{36}} = \frac{11^{16+21}}{11^{36}} = \frac{11^{37}}{11^{36}} = 11^{37-36} = 11^1 = 11$.
Ответ: 11

4) Представим числа 36 и 216 как степени числа 6: $36 = 6^2$ и $216 = 6^3$.
$\frac{36^3 \cdot 216^2}{6^{12}} = \frac{(6^2)^3 \cdot (6^3)^2}{6^{12}} = \frac{6^{2 \cdot 3} \cdot 6^{3 \cdot 2}}{6^{12}} = \frac{6^6 \cdot 6^6}{6^{12}} = \frac{6^{6+6}}{6^{12}} = \frac{6^{12}}{6^{12}} = 1$.
Ответ: 1

5) Используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$\frac{2^9 \cdot 5^9}{10^6} = \frac{(2 \cdot 5)^9}{10^6} = \frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

6) Представим $4^{19}$ как $4^2 \cdot 4^{17}$ и используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Также учтем, что $0.25 = \frac{1}{4}$.
$4^{19} \cdot 0.25^{17} = 4^2 \cdot 4^{17} \cdot 0.25^{17} = 4^2 \cdot (4 \cdot 0.25)^{17} = 16 \cdot (4 \cdot \frac{1}{4})^{17} = 16 \cdot 1^{17} = 16 \cdot 1 = 16$.
Ответ: 16

7) Разложим основания на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $64 = 2^6$, $27 = 3^3$.
$\frac{18^6}{64 \cdot 27^4} = \frac{(2 \cdot 3^2)^6}{2^6 \cdot (3^3)^4} = \frac{2^6 \cdot (3^2)^6}{2^6 \cdot 3^{3 \cdot 4}} = \frac{2^6 \cdot 3^{12}}{2^6 \cdot 3^{12}} = 1$.
Ответ: 1

8) Разложим основания на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
$\frac{24^5}{4^7 \cdot 9^2} = \frac{(2^3 \cdot 3)^5}{(2^2)^7 \cdot (3^2)^2} = \frac{(2^3)^5 \cdot 3^5}{2^{2 \cdot 7} \cdot 3^{2 \cdot 2}} = \frac{2^{15} \cdot 3^5}{2^{14} \cdot 3^4} = \frac{2^{15}}{2^{14}} \cdot \frac{3^5}{3^4} = 2^{15-14} \cdot 3^{5-4} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
Ответ: 6