Номер 14, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 6. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 14, страница 36.

Условие.

14. Сравните значения выражений:

1) $5^{24}$ и $3^{36}$;

Имеем: $5^{24} = (5^2)^{12} = 25^{12}$; $3^{36} = (3^3)^{12} = 27^{12}$.

Поскольку $25^{12} \quad 27^{12}$, то

2) $4^{24}$ и $7^{18}$;

3) $26^{18}$ и $9^{27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для сравнения значений выражений $5^{24}$ и $3^{36}$ необходимо привести их к общему показателю степени. Основной метод для этого — найти наибольший общий делитель (НОД) показателей степеней.
Показатели степеней — 24 и 36. НОД(24, 36) = 12.
Теперь представим каждое из исходных выражений в виде степени с показателем 12, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{24} = 5^{2 \cdot 12} = (5^2)^{12} = 25^{12}$
$3^{36} = 3^{3 \cdot 12} = (3^3)^{12} = 27^{12}$
Теперь задача сводится к сравнению двух степеней с одинаковыми показателями: $25^{12}$ и $27^{12}$.
Так как показатели степеней равны, достаточно сравнить их основания. Поскольку $25 < 27$, то и $25^{12} < 27^{12}$.
Следовательно, $5^{24} < 3^{36}$.
Ответ: $5^{24} < 3^{36}$.

2) Сравним значения выражений $4^{24}$ и $7^{18}$. Приведем их к общему показателю.
Найдем НОД показателей 24 и 18. НОД(24, 18) = 6.
Представим выражения в виде степени с показателем 6:
$4^{24} = 4^{4 \cdot 6} = (4^4)^6 = 256^6$
$7^{18} = 7^{3 \cdot 6} = (7^3)^6 = 343^6$
Теперь сравним $256^6$ и $343^6$. Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.
Поскольку $256 < 343$, то $256^6 < 343^6$.
Следовательно, $4^{24} < 7^{18}$.
Ответ: $4^{24} < 7^{18}$.

3) Сравним значения выражений $26^{18}$ и $9^{27}$. Приведем их к общему показателю.
Найдем НОД показателей 18 и 27. НОД(18, 27) = 9.
Представим выражения в виде степени с показателем 9:
$26^{18} = 26^{2 \cdot 9} = (26^2)^9 = 676^9$
$9^{27} = 9^{3 \cdot 9} = (9^3)^9 = 729^9$
Теперь сравним $676^9$ и $729^9$. Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.
Поскольку $676 < 729$, то $676^9 < 729^9$.
Следовательно, $26^{18} < 9^{27}$.
Ответ: $26^{18} < 9^{27}$.