Номер 15, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 15, страница 37.

Условие.

15. Сколькими нулями оканчивается значение выражения $6^{10} \cdot 15^9$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается значение выражения, необходимо найти, сколько раз число 10 является его множителем. Каждый ноль на конце числа образуется произведением множителей 2 и 5 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, количество нулей равно минимальному из показателей степеней простых множителей 2 и 5 в разложении данного числа.

Рассмотрим выражение $6^{10} \cdot 15^9$.

Сначала разложим основания степеней (числа 6 и 15) на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$6^{10} \cdot 15^9 = (2 \cdot 3)^{10} \cdot (3 \cdot 5)^9$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, чтобы раскрыть скобки:

$(2^{10} \cdot 3^{10}) \cdot (3^9 \cdot 5^9)$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство произведения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{10} \cdot (3^{10} \cdot 3^9) \cdot 5^9 = 2^{10} \cdot 3^{10+9} \cdot 5^9 = 2^{10} \cdot 3^{19} \cdot 5^9$

Итак, каноническое разложение числа на простые множители имеет вид $2^{10} \cdot 5^9 \cdot 3^{19}$.

Теперь сравним показатели степеней у множителей 2 и 5. Показатель степени у двойки равен 10, а у пятерки — 9. Количество пар $(2 \cdot 5)$, которые можно составить, определяется наименьшим из этих показателей.

$\min(10, 9) = 9$

Это означает, что мы можем сформировать 9 множителей, равных 10. Следовательно, значение выражения будет оканчиваться на 9 нулей.

Ответ: 9