Номер 313, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 313, страница 63.

Условие.

313. Докажите тождество:

1) $(a^2 + b^2 - c^2) - (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2) = a^2 - c^2;$

2) $(4 - 3a^2) - a^2 + (7 + 2a^2) - (-2a^2 + 11) = 0;$

3) $(x^3 + 4x^2) - (x + 6) + (1 + x - x^3) = 4x^2 - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества $(a^2 + b^2 - c^2) - (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2) = a^2 - c^2$ необходимо преобразовать его левую часть. Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$(a^2 + b^2 - c^2) - (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2) = a^2 + b^2 - c^2 - b^2 - c^2 + a^2 + c^2 - a^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (-c^2 - c^2 + c^2) = a^2 + 0 - c^2 = a^2 - c^2$

В результате преобразования левая часть выражения стала равна правой части: $a^2 - c^2 = a^2 - c^2$.

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(4 - 3a^2) - a^2 + (7 + 2a^2) - (-2a^2 + 11) = 0$ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем все скобки:

$(4 - 3a^2) - a^2 + (7 + 2a^2) - (-2a^2 + 11) = 4 - 3a^2 - a^2 + 7 + 2a^2 + 2a^2 - 11$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые, отдельно для членов с переменной и для констант:

$(-3a^2 - a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (4 + 7 - 11) = (-4a^2 + 4a^2) + (11 - 11) = 0 + 0 = 0$

Левая часть тождества равна правой: $0 = 0$.

Ответ: тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(x^3 + 4x^2) - (x + 6) + (1 + x - x^3) = 4x^2 - 5$ преобразуем его левую часть. Раскрываем скобки:

$(x^3 + 4x^2) - (x + 6) + (1 + x - x^3) = x^3 + 4x^2 - x - 6 + 1 + x - x^3$

Сгруппируем подобные члены и выполним сложение/вычитание:

$(x^3 - x^3) + 4x^2 + (-x + x) + (-6 + 1) = 0 + 4x^2 + 0 - 5 = 4x^2 - 5$

В результате мы получили, что левая часть равна правой: $4x^2 - 5 = 4x^2 - 5$.

Ответ: тождество доказано.