Номер 12, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

12. Вычисление значений функции по формуле. Глава ІІ. Функции. Часть 1 - номер 12, страница 53.

Условие.

12. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{5}{x^2 - 9}$;

б) $y = \frac{6}{x^2 + 25}$;

в) $y = \frac{7}{|x| - 1}$?

Решение.

Решение 2.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробно-рациональных функций необходимо, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю.

а) $y=\frac{5}{x^2-9}$

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $x^2 - 9$ не равен нулю. Найдем значения $x$, которые нужно исключить, решив уравнение:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -3$ и $x = 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$

б) $y=\frac{6}{x^2+25}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 + 25$ равен нулю.
$x^2 + 25 = 0$
$x^2 = -25$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $x^2+25$ никогда не обращается в ноль (он всегда положителен, $x^2+25 \ge 25$). Значит, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

в) $y=\frac{7}{|x|-1}$

Функция определена, если знаменатель $|x|-1$ не равен нулю. Найдем недопустимые значения $x$:
$|x| - 1 = 0$
$|x| = 1$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -1$ и $x = 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$