Номер 7, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

14. Прямая пропорциональность и её график. Глава ІІ. Функции. Часть 1 - номер 7, страница 62.

Условие.

7. При каких значениях коэффициента $k$ абсциссы и ординаты точек, принадлежащих графику функции $y = kx$ и отличных от начала координат:

а) имеют одинаковые знаки;

б) имеют разные знаки;

в) равны между собой;

г) являются противоположными числами?

Ответ:

а) $k=$

б) $k=$

в) $k=$

г) $k=$

Решение.

Решение 2.

а) имеют одинаковые знаки;

Мы рассматриваем точки $(x, y)$, принадлежащие графику функции $y = kx$ и отличные от начала координат (то есть $x \neq 0$ и $y \neq 0$).

Условие, что абсцисса $x$ и ордината $y$ имеют одинаковые знаки, означает, что они либо обе положительны ($x > 0, y > 0$), либо обе отрицательны ($x < 0, y < 0$).

Из уравнения функции $y = kx$ для $x \neq 0$ можно выразить коэффициент $k$ как отношение $k = \frac{y}{x}$.

Если $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки, их отношение всегда будет положительным.

• Если $x > 0$ и $y > 0$, то $k = \frac{y}{x} > 0$.
• Если $x < 0$ и $y < 0$, то $k = \frac{y}{x} > 0$.

Таким образом, для выполнения этого условия необходимо, чтобы $k > 0$. Графически это означает, что прямая $y=kx$ расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: $k > 0$.

б) имеют разные знаки;

Условие, что абсцисса $x$ и ордината $y$ имеют разные знаки, означает, что если одна из них положительна, то другая отрицательна.

• Если $x > 0$, то $y < 0$.
• Если $x < 0$, то $y > 0$.

Рассмотрим отношение $k = \frac{y}{x}$.

Если $x$ и $y$ имеют разные знаки, их отношение всегда будет отрицательным.

• Если $x > 0$ и $y < 0$, то $k = \frac{y}{x} < 0$.
• Если $x < 0$ и $y > 0$, то $k = \frac{y}{x} < 0$.

Следовательно, для выполнения этого условия необходимо, чтобы $k < 0$. Графически это означает, что прямая $y=kx$ расположена во II и IV координатных четвертях.

Ответ: $k < 0$.

в) равны между собой;

Условие, что абсцисса и ордината равны между собой, означает, что $y = x$.

Подставим это условие в уравнение функции $y = kx$:

$x = kx$

Так как мы рассматриваем точки, отличные от начала координат, то $x \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $x$:

$\frac{x}{x} = \frac{kx}{x}$

$1 = k$

Это условие выполняется только при $k = 1$. Функция в этом случае имеет вид $y = x$ и является биссектрисой I и III координатных углов.

Ответ: $k = 1$.

г) являются противоположными числами?

Условие, что абсцисса и ордината являются противоположными числами, означает, что $y = -x$.

Подставим это условие в уравнение функции $y = kx$:

$-x = kx$

Так как $x \neq 0$, разделим обе части равенства на $x$:

$\frac{-x}{x} = \frac{kx}{x}$

$-1 = k$

Это условие выполняется только при $k = -1$. Функция в этом случае имеет вид $y = -x$ и является биссектрисой II и IV координатных углов.

Ответ: $k = -1$.